设α1,α2,···,an为s个线性无关的n维向量.证-|||-明:存在含n个未知量的齐次线性方程组,使α1,α2,···,an是-|||-它的一个基础解系.

步骤 1：构造齐次线性方程组
构造一个含n个未知量的齐次线性方程组，其系数矩阵的秩为s。设所给的s个n维向量为：
${a}_{1}=({a}_{11},{a}_{12},\cdots ,{a}_{1n})$,
${a}_{2}=({a}_{21},{a}_{22},\cdots ,{a}_{2n})$,
...
${a}_{5}=({a}_{51},{a}_{52},\cdots ,{a}_{5n})$,
考虑齐次线性方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {a}_{11}{x}_{1}+{a}_{12}{x}_{2}+\cdots +{a}_{1n}{x}_{n}=0\\ {a}_{21}{x}_{1}+{a}_{22}{x}_{2}+\cdots +{a}_{2n}{x}_{n}=0\\ \vdots \\ {a}_{51}{x}_{1}+{a}_{52}{x}_{2}+\cdots +{a}_{5n}{x}_{n}=0 \end{matrix} \right.$
(1)
步骤 2：确定基础解系的个数
由于α1,α2,···,a5线性无关，故此方程组的系数矩阵的秩为s。因此，方程组(1)的基础解系含n-s个向量。
步骤 3：构造新的齐次线性方程组
设${\beta }_{1}=({b}_{11},{b}_{12},\cdots ,{b}_{1n})$,
${\beta }_{2}=({b}_{21},{b}_{22},\cdots ,{b}_{2n})$,
...
${\beta }_{n-s}=({b}_{(n-s)1},{b}_{(n-s)2},\cdots ,{b}_{(n-s)n})$,
为方程组(1)的一基础解系。考虑齐次线性方程组：
$\left \{ \begin{matrix} {b}_{11}{x}_{1}+{b}_{12}{x}_{2}+\cdots +{b}_{1n}{x}_{n}=0\\ {b}_{21}{x}_{1}+{b}_{22}{x}_{2}+\cdots +{b}_{2n}{x}_{n}=0\\ \vdots \\ {b}_{(n-s)1}{x}_{1}+{b}_{(n-s)2}{x}_{2}+\cdots +{b}_{(n-s)n}{x}_{n}=0 \end{matrix} \right.$
(2)
步骤 4：确定新的齐次线性方程组的基础解系
由于β1,β2,···,βn-s是方程组(1)的解，因此α1,α2,···,a5是方程组(2)的解。因此，α1,α2,···,a5是方程组(2)的基础解系。