【例3】(2023,数三)已知函数f(x,y)=ln(y+|xsin y|),则A. (partial f)/(partial x) | _((0,1)) 不存在,(partial f)/(partial y) | _((0,1)) 存在.B. (partial f)/(partial x) | _((0,1)) 存在,(partial f)/(partial y) | _((0,1)) 不存在.C. (partial f)/(partial x) | _((0,1)) , (partial f)/(partial y) | _((0,1)) 均存在.D. (partial f)/(partial x) | _((0,1)) , (partial f)/(partial y) | _((0,1)) 均不存在.

本题考查二元函数偏导数的定义及计算。解题思路是根据偏导数的定义分别计算函数$f(x,y)=\ln(y + |x\sin y|)$在点$(0,1)$处对$x$和$y$的偏导数，判断其是否存在。

1. 计算$\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(0,1)}$

根据偏导数的定义，函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数为$\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x - x_0}$。
对于本题，$x_0 = 0$，$y_0 = 1$，则$\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(0,1)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x,1) - f(0,1)}{x}$。

• 先计算$f(x,1)$和$f(0,1)$：
  将$y = 1$代入$f(x,y)=\ln(y + |x\sin y|)$，可得$f(x,1)=\ln(1 + |x\sin 1|)$；
  将$x = 0$，$y = 1$代入$f(x,y)=\ln(y + |x\sin y|)$，可得$f(0,1)=\ln(1 + |0\times\sin 1|)=\ln 1 = 0$。
• 则$\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(0,1)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + |x\sin 1|) - 0}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + |x\sin 1|)}{x}$。
  当$u \to 0$时，$\ln(1 + u) \sim u$，这里$u = |x\sin 1|$，当$x \to 0$时，$u \to 0$，所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + |x\sin 1|)}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x\sin 1|}{x}$。
  分别计算左右极限：
  • 当$x \to 0^+$时，$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{|x\sin 1|}{x}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x\sin 1}{x}=\sin 1$。
  • 当$x \to 0^-$时，$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{|x\sin 1|}{x}=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{-x\sin 1}{x}=-\sin 1$。
    因为左右极限不相等，所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x\sin 1|}{x}$不存在，即$\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(0,1)}$不存在。

2. 计算$\frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(0,1)}$

根据偏导数的定义，函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数为$\frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(x_0,y_0)}=\lim\limits_{y \to y_0} \frac{f(x_0,y) - f(x_0,y_0)}{y - y_0}$。
对于本题，$x_0 = 0$，$y_0 = 1$，则$\frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(0,1)} = \lim\limits_{y \to 1} \frac{f(0,y) - f(0,1)}{y - 1}$。

• 先计算$f(0,y)$和$f(0,1)$：
  将$x = 0$代入$f(x,y)=\ln(y + |x\sin y|)$，可得$f(0,y)=\ln(y + |0\times\sin y|)=\ln y$；
  前面已求得$f(0,1)=\ln 1 = 0$。
• 则$\frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(0,1)} = \lim\limits_{y \to 1} \frac{\ln y - 0}{y - 1}=\lim\limits_{y \to 1} \frac{\ln y}{y - 1}$。
  令$t = y - 1$，则$y = t + 1$，当$y \to 1$时，$t \to 0$，那么$\lim\limits_{y \to 1} \frac{\ln y}{y - 1}=\lim\limits_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t}$。
  当$t \to 0$时，$\ln(1 + t) \sim t$，所以$\lim\limits_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t}=\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{t}=1$，即$\frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(0,1)}$存在且等于$1$。