题目
计算曲面积分= +ydzdx+zdxdy,其中∑是旋转抛物面= +ydzdx+zdxdy,介于平面 z = 0 及 z = 1 之间的部分的下侧。
计算曲面积分
其中∑是旋转抛物面
介于平面 z = 0 及 z = 1 之间的部分的下侧。
题目解答
答案
解析：如下图所示，作辅助曲面∑1（黄色区域），∑1可表示为：
设∑1在
平面上的投影为
，易知
，设∑1在
平面上的投影为
，易知
，
设∑1在
平面上的投影为
，易知：
因为，所以，
所以：
同理可得，
设∑和∑1组成的闭区域为Ω，由高斯公式得，
因为
等于闭区域Ω的体积，所以：
综上可得：
所以：
综上所述，
解析
步骤 1：确定辅助曲面
作辅助曲面∑1（黄色区域），∑1可表示为：$\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\\ z=1\end{matrix} \right.$
步骤 2：计算曲面∑1在不同坐标平面上的投影
设∑1在$300$平面上的投影为Dy，易知${D}_{{y}_{2}}=0$，设∑1在ox平面上的投影为Dzx，易知${D}_{2x}=0$，
设∑1在xoy平面上的投影为Dry，易知：${D}_{xy}=\pi \cdot {1}^{2}=\pi $
步骤 3：计算曲面积分
因为${D}_{{y}_{2}}=0$，所以，$\iint xdydz=0$
所以：xdydz= $\int xdydz=0$
同理可得，ydzdx= $\int dxdx=0$
$\times $ zdxdy= zdxyy= 1dxyy= $d\theta $ ${\int }_{0}^{11}{e}^{-1}{e}_{10}$ 1 $Dxy$
$={\int }_{0}^{2\pi }d\theta {[ \dfrac {1}{2}{\rho }^{2}{] }_{0}=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }d\theta =\dfrac {1}{2}{\theta }_{0}^{2\pi }=\pi $
故 $\int xdydz+ydzdx+zdxdy=$ $\int ddydz+$ ydzdx+ zdxdy
$=4+0+0=$
设∑和∑1组成的闭区域为Ω，由高斯公式得，xdydz+ydzdx +zdxdy=111 ( $\int (\dfrac {\partial x}{\partial x}+\dfrac {\partial y}{\partial y}+\dfrac {\partial z}{\partial z})dxdydz$ C+Z1
= 3dxdydz=3 dxdydz
因为dxdydz等于闭区域Ω的体积，所以：$\iint dxdydz=$ Ω$\dfrac {1}{3}\pi \cdot {1}^{2}\cdot 1=\dfrac {\pi }{3}$
综上可得：xdydz+ydzdx +zdxdy=3 $\int dxdydz=3\times \dfrac {\pi }{3}=\pi $ $2+21$
所以：xdydz +ydzdx+zdxdy = xdydz +ydzdx+zdxdy ∑+Z1
${\iint }_{xd}ydxzy+d{d}_{2}y={x}_{1}{y}_{2}$
综上所述，${\iint }_{x}^{-2}{x}_{1}-{x}_{2}{y}_{2}{y}_{2}{y}_{2}=2$
z个 个 1 0 y 一 x
作辅助曲面∑1（黄色区域），∑1可表示为：$\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\\ z=1\end{matrix} \right.$
步骤 2：计算曲面∑1在不同坐标平面上的投影
设∑1在$300$平面上的投影为Dy，易知${D}_{{y}_{2}}=0$，设∑1在ox平面上的投影为Dzx，易知${D}_{2x}=0$，
设∑1在xoy平面上的投影为Dry，易知：${D}_{xy}=\pi \cdot {1}^{2}=\pi $
步骤 3：计算曲面积分
因为${D}_{{y}_{2}}=0$，所以，$\iint xdydz=0$
所以：xdydz= $\int xdydz=0$
同理可得，ydzdx= $\int dxdx=0$
$\times $ zdxdy= zdxyy= 1dxyy= $d\theta $ ${\int }_{0}^{11}{e}^{-1}{e}_{10}$ 1 $Dxy$
$={\int }_{0}^{2\pi }d\theta {[ \dfrac {1}{2}{\rho }^{2}{] }_{0}=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }d\theta =\dfrac {1}{2}{\theta }_{0}^{2\pi }=\pi $
故 $\int xdydz+ydzdx+zdxdy=$ $\int ddydz+$ ydzdx+ zdxdy
$=4+0+0=$
设∑和∑1组成的闭区域为Ω，由高斯公式得，xdydz+ydzdx +zdxdy=111 ( $\int (\dfrac {\partial x}{\partial x}+\dfrac {\partial y}{\partial y}+\dfrac {\partial z}{\partial z})dxdydz$ C+Z1
= 3dxdydz=3 dxdydz
因为dxdydz等于闭区域Ω的体积，所以：$\iint dxdydz=$ Ω$\dfrac {1}{3}\pi \cdot {1}^{2}\cdot 1=\dfrac {\pi }{3}$
综上可得：xdydz+ydzdx +zdxdy=3 $\int dxdydz=3\times \dfrac {\pi }{3}=\pi $ $2+21$
所以：xdydz +ydzdx+zdxdy = xdydz +ydzdx+zdxdy ∑+Z1
${\iint }_{xd}ydxzy+d{d}_{2}y={x}_{1}{y}_{2}$
综上所述，${\iint }_{x}^{-2}{x}_{1}-{x}_{2}{y}_{2}{y}_{2}{y}_{2}=2$
z个 个 1 0 y 一 x