int (x)^2arctan xdx

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对反三角函数与多项式函数乘积的积分处理能力。

解题核心思路：
当积分形式为多项式函数与反三角函数的乘积时，优先考虑分部积分法。关键在于合理选择分部积分中的u和dv，使得积分过程简化。通常选择反三角函数为u，因为它的导数会转化为有理分式，便于后续积分。

破题关键点：

1. 选择u = arctan x，则du = 1/(1+x²) dx；
2. 选择dv = x dx，则v = ½x²；
3. 通过分部积分公式展开后，剩余积分需通过代数变形简化。

分部积分法应用

1. 设定变量
   设 u = arctan x，则 du = 1/(1+x²) dx；
   设 dv = x dx，则 v = ∫x dx = ½x²。

2. 应用分部积分公式
   根据分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，得：
   $\int x \arctan x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$

3. 简化剩余积分
   剩余积分 ∫x²/(1+x²) dx 可变形为：
   $\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$
   因此：
   $\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} dx = x - \arctan x + C$

4. 整合结果
   将所有部分代入原式，最终结果为：
   $\frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2}(x - \arctan x) + C$