题目
(1) int (x)^2arctan xdx;
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及有理函数积分的处理技巧。
解题核心思路：
- 选择分部积分中的u和dv：通常选择对数函数或反三角函数作为u，因为它们的导数会简化表达式。这里选择$u = \arctan x$，则$dv = x^2 dx$。
- 处理剩余积分：分部积分后得到的$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx$需要通过代数变形简化，拆分为更易积分的形式。
- 综合结果：将各部分积分结果合并，整理常数项。
破题关键点：
- 正确应用分部积分公式，避免符号错误。
- 拆分分式$\frac{x^3}{1+x^2}$为$x - \frac{x}{1+x^2}$，简化积分过程。
分部积分法应用
-
设定u和dv：
设$u = \arctan x$，则$du = \frac{1}{1+x^2} dx$；
设$dv = x^2 dx$，则$v = \frac{1}{3}x^3$。 -
分部积分公式：
$\int x^2 \arctan x dx = \frac{1}{3}x^3 \arctan x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$
处理剩余积分
-
简化分式：
将$\frac{x^3}{1+x^2}$拆分为$x - \frac{x}{1+x^2}$：
$\frac{x^3}{1+x^2} = x - \frac{x}{1+x^2}$ -
分项积分：
$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int x dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx$ -
逐项计算：
- $\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$
- $\int \frac{x}{1+x^2} dx$：令$u = 1+x^2$，则$du = 2x dx$，得$\frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_2$
-
合并结果：
$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
综合所有步骤
-
代入分部积分结果：
$\int x^2 \arctan x dx = \frac{1}{3}x^3 \arctan x - \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right) + C$ -
整理常数项：
$= \frac{1}{3}x^3 \arctan x - \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{6}\ln(1+x^2) + C$