题目
1.14 已知lim_(xto0)[a(2+e^frac(1)/(x))(1+e^(4)/(x))+(1+|x|)^(1)/(x)]存在，求a的值.
1.14 已知$\lim_{x\to0}\left[a\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\left(1+|x|\right)^{\frac{1}{x}}\right]$存在，求a的值.
题目解答
答案
当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，故 $e^{\frac{1}{x}} \to 0$，
\[
\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}} \to 2, \quad (1+|x|)^{\frac{1}{x}} = (1-x)^{\frac{1}{x}} \to e^{-1},
\]
左极限为 $2a + e^{-1}$。
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，
\[
\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}} \to 0, \quad (1+|x|)^{\frac{1}{x}} = (1+x)^{\frac{1}{x}} \to e,
\]
右极限为 $e$。
为使极限存在，令左极限等于右极限：
\[
2a + e^{-1} = e \implies a = \frac{e - e^{-1}}{2}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{e - e^{-1}}{2}}$