题目
[题目]曲线 =(2x-1)(e)^dfrac (1{x)} 的斜渐近线方程为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算斜率
为了找到斜渐近线的斜率，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{x}$。对于给定的函数 $y=(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}$，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x-1}{x}\cdot {e}^{\dfrac {1}{x}}$$
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x-1}{x}=2$，且 $\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{\dfrac {1}{x}}=1$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{x}=2$$
步骤 2：计算截距
为了找到斜渐近线的截距，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }(y-2x)$。对于给定的函数 $y=(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}$，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }(y-2x)=\lim _{x\rightarrow \infty }[(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}-2x]$$
$$=\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-{e}^{\dfrac {1}{x}}]$$
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{\dfrac {1}{x}}=1$，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-{e}^{\dfrac {1}{x}}]=\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-1]$$
利用洛必达法则，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-1]=\lim _{x\rightarrow \infty }[2\cdot \dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}-1]=2\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}-1$$
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}=1$，我们有：
$$2\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}-1=2\cdot 1-1=1$$
步骤 3：写出斜渐近线方程
根据步骤 1 和步骤 2 的结果，斜渐近线的方程为：
$$y=2x+1$$
为了找到斜渐近线的斜率，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{x}$。对于给定的函数 $y=(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}$，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x-1}{x}\cdot {e}^{\dfrac {1}{x}}$$
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x-1}{x}=2$，且 $\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{\dfrac {1}{x}}=1$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{x}=2$$
步骤 2：计算截距
为了找到斜渐近线的截距，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }(y-2x)$。对于给定的函数 $y=(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}$，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }(y-2x)=\lim _{x\rightarrow \infty }[(2x-1){e}^{\dfrac {1}{x}}-2x]$$
$$=\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-{e}^{\dfrac {1}{x}}]$$
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{\dfrac {1}{x}}=1$，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-{e}^{\dfrac {1}{x}}]=\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-1]$$
利用洛必达法则，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }[2x({e}^{\dfrac {1}{x}}-1)-1]=\lim _{x\rightarrow \infty }[2\cdot \dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}-1]=2\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}-1$$
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}=1$，我们有：
$$2\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{x}}-1}{\dfrac {1}{x}}-1=2\cdot 1-1=1$$
步骤 3：写出斜渐近线方程
根据步骤 1 和步骤 2 的结果，斜渐近线的方程为：
$$y=2x+1$$