iint_(Sigma) x^2 , dydz + xy , dzdx + y^2 , dxdy，其中 Sigma 为抛物面 z = x^2 + y^2 被 z = 4 所截下部分的下侧.A. -4piB. 4piC. 0D. -2pi

步骤 1：添加辅助曲面
添加辅助曲面 $\Sigma_1: z=4$（上侧），与原曲面 $\Sigma$ 构成闭合曲面。闭合曲面上的曲面积分为： \[ \iint_{\Sigma + \Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV \] 其中，$\vec{F} = (x^2, xy, y^2)$，散度 $\nabla \cdot \vec{F} = 3x$。由于积分区域关于 $y$-轴对称，三重积分为零。因此： \[ \iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S} = -\iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} \]

步骤 2：计算 $\Sigma_1$ 上的曲面积分
在 $\Sigma_1$ 上，$z=4$，$d\vec{S} = (0,0,1)dxdy$，曲面积分为： \[ \iint_{\Sigma_1} y^2 \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \sin^2 \theta \, dr \, d\theta \] 其中，$r$ 为极坐标下的半径，$\theta$ 为极坐标下的角度。计算积分： \[ \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \sin^2 \theta \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \int_0^2 r^3 \, dr = \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \cdot \frac{1}{4} \cdot 2^4 = \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \cdot 4 \] 使用 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，积分变为： \[ \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta \cdot 4 = 4 \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\theta - 4 \int_0^{2\pi} \frac{\cos 2\theta}{2} \, d\theta = 4 \cdot \pi - 0 = 4\pi \]

步骤 3：确定原积分值
由于 $\Sigma_1$ 取上侧，结果为正，故原积分值为 $-4\pi$。