51,求圆 ^2+(y)^2=2y 内位于抛物线 =(x)^2 上方部分的面积.

考查要点：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转换、曲线交点的求解以及定积分在求平面图形面积中的应用。

解题核心思路：

1. 确定曲线交点：联立圆与抛物线的方程，找到交点坐标，明确积分上下限。
2. 分析区域形状：通过图形分析，确定所求区域由圆的上半部分与抛物线围成。
3. 建立积分表达式：利用积分计算上下限的差值，结合对称性简化计算。

破题关键点：

• 联立方程求交点：通过代入消元法找到交点，确定积分区间。
• 利用对称性：积分区间关于原点对称，可将积分转化为两倍的单边积分，简化计算。
• 分项积分：将积分拆分为多项式函数与根号函数的组合，分别计算后合并结果。

联立方程求交点

联立圆方程 $x^2 + y^2 = 2y$ 和抛物线方程 $y = x^2$：
$\begin{cases}x^2 + y^2 = 2y \\y = x^2\end{cases}$
将 $y = x^2$ 代入圆方程：
$x^2 + (x^2)^2 = 2x^2 \implies x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 1) = 0$
解得 $x = 0, \pm 1$，对应 $y = 0, 1$，因此交点为 $(-1, 1)$、$(1, 1)$ 和 $(0, 0)$。

确定积分区域

所求区域为圆内且位于抛物线上方的部分。通过图形分析可知：

• 在 $x \in [-1, 1]$ 之间，抛物线 $y = x^2$ 位于圆的下半部分 $y = 1 - \sqrt{1 - x^2}$ 的上方。
• 圆的上半部分为 $y = 1 + \sqrt{1 - x^2}$，与抛物线在 $x = \pm 1$ 处相交。

因此，所求面积由圆的上半部分与抛物线围成，积分上下限为 $x = -1$ 到 $x = 1$，积分函数为圆上半部分与抛物线的差值。

建立积分表达式

面积 $A$ 可表示为：
$A = \int_{-1}^{1} \left[ \left(1 + \sqrt{1 - x^2}\right) - x^2 \right] dx$
利用积分对称性，化简为：
$A = 2 \int_{0}^{1} \left(1 + \sqrt{1 - x^2} - x^2 \right) dx$

分项积分计算

1. 积分 $\int 1 \, dx$：
   $\int_{0}^{1} 1 \, dx = 1$

2. 积分 $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx$：
   该积分对应四分之一单位圆的面积，结果为 $\frac{\pi}{4}$。

3. 积分 $\int x^2 \, dx$：
   $\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3}$

合并结果：
$A = 2 \left(1 + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{2}$