2.下列数据作为x=e=2.71828...的近似值，试确定它们各有几位有效数字，并求其相对误差限：x_(1)=2.7, x_(2)=2.71, x_(3)=2.72

本题主要考查有效数字的确定以及相对误差限的计算。解题思路如下：

1. 有效数字的确定：
   • 设数 $x$ 的近似值 $x^*$ 表示为 $x^* = \pm 0.a_1a_2\cdots a_n\times 10^m$，其中 $a_1\neq 0$，$a_i$ 是 $0$ 到 $9$ 中的一个数字，$m$ 为整数。如果 $|x - x^*| \leq \frac{1}{2}\times 10^{m - n}$，则称 $x^*$ 具有 $n$ 位有效数字。
2. 相对误差限的计算：
   • 相对误差限 $\varepsilon_r^*$ 的计算公式为 $\varepsilon_r^* = \frac{1}{a_1}\times 10^{-(n - 1)}$，其中 $a_1$ 是近似值 $x^*$ 的第一位非零数字，$n$ 是有效数字的位数。

下面分别对 $x_1 = 2.7$，$x_2 = 2.71$，$x_3 = 2.72$ 进行分析：

1. 对于 $x_1 = 2.7$：
   • 已知 $x = e = 2.71828\cdots$，则 $|x - x_1| = |2.71828\cdots - 2.7| = 0.01828\cdots$。
   • 因为 $x_1 = 2.7 = 0.27\times 10^1$，这里 $m = 1$，$n = 2$，$\frac{1}{2}\times 10^{m - n} = \frac{1}{2}\times 10^{1 - 2} = 0.05$，而 $0.01828\cdots \leq 0.05$，所以 $x_1$ 有 2 位有效数字。
   • 根据相对误差限公式，$a_1 = 2$，$n = 2$，则相对误差限 $\varepsilon_{r1}^* = \frac{1}{2}\times 10^{-(2 - 1)} = 0.5\times 10^{-1}$。
2. 对于 $x_2 = 2.71$：
   • 计算 $|x - x_2| = |2.71828\cdots - 2.71| = 0.00828\cdots$。
   • 由于 $x_2 = 2.71 = 0.271\times 10^1$，$m = 1$，$n = 2$，$\frac{1}{2}\times 10^{m - n} = \frac{1}{2}\times 10^{1 - 2} = 0.005$，而 $0.00828\cdots > 0.005$，所以 $x_2$ 有 2 位有效数字。
   • 由相对误差限公式，$a_1 = 2$，$n = 2$，可得相对误差限 $\varepsilon_{r2}^* = \frac{1}{2}\times 10^{-(2 - 1)} = 0.5\times 10^{-2}$。
3. 对于 $x_3 = 2.72$：
   • 计算 $|x - x_3| = |2.71828\cdots - 2.72| = 0.00172\cdots$。
   • 因为 $x_3 = 2.72 = 0.272\times 10^1$，$m = 1$，$n = 3$，$\frac{1}{2}\times 10^{m - n} = \frac{1}{2}\times 10^{1 - 3} = 0.005$，而 $0.00172\cdots \leq 0.005$，所以 $x_3$ 有 3 位有效数字。
   • 根据相对误差限公式，$a_1 = 2$，$n = 3$，则相对误差限 $\varepsilon_{r3}^* = \frac{1}{2}\times 10^{-(3 - 1)} = 0.5\times 10^{-2}$。