求:(1)由曲线 =sin x , =cos x , x=0 及 =dfrac (pi )(6)-|||-所围成的平面图形的面积S;-|||-(2)由上述图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx

考查要点：本题主要考查定积分在几何中的应用，包括平面图形的面积计算和旋转体体积计算。

解题思路：

1. 面积计算：确定积分区间内上下曲线的位置关系，利用定积分求面积公式。
2. 体积计算：利用旋转体体积公式（圆盘法），计算外曲线与内曲线平方差的积分。

关键点：

• 曲线位置关系：在区间 $[0, \frac{\pi}{6}]$ 内，$\cos x > \sin x$，因此面积由 $\cos x - \sin x$ 的积分确定。
• 体积公式：绕 $x$ 轴旋转体积公式为 $\pi \int_{a}^{b} (\text{外函数}^2 - \text{内函数}^2) \, dx$。

第（1）题：平面图形的面积 $S$

确定上下曲线

在 $x \in [0, \frac{\pi}{6}]$ 内，$\cos x > \sin x$，因此面积公式为：
$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\cos x - \sin x) \, dx$

计算积分

积分结果为：
$\int (\cos x - \sin x) \, dx = \sin x + \cos x$

代入上下限

$S = \left[ \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \left( \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6} \right) - (\sin 0 + \cos 0)$

具体计算

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 0 = 0, \quad \cos 0 = 1$
$S = \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - (0 + 1) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

第（2）题：旋转体的体积 $V$

应用体积公式

绕 $x$ 轴旋转体积公式为：
$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( \cos^2 x - \sin^2 x \right) dx$

化简被积函数

利用三角恒等式 $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$：
$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx$

计算积分

积分结果为：
$\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$

代入上下限

$V = \pi \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{2} \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 \right)$

具体计算

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 0 = 0$
$V = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \pi$