题目
36.(单选题，0.2分)【单选题】不定积分int te^tdt=()
36.(单选题，0.2分)
【单选题】不定积分$\int te^{t}dt=()$
题目解答
答案
为了求解不定积分 $\int te^t \, dt$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
在这个问题中，我们可以设 $u = t$ 和 $dv = e^t \, dt$。那么，$du = dt$ 和 $v = e^t$。将这些代入分部积分法的公式中，我们得到：
\[
\int te^t \, dt = t e^t - \int e^t \, dt
\]
接下来，我们需要求解 $\int e^t \, dt$。我们知道，$e^t$ 的原函数是 $e^t$，所以：
\[
\int e^t \, dt = e^t
\]
因此，我们可以将这个结果代回上式中：
\[
\int te^t \, dt = t e^t - e^t
\]
为了简化，我们可以提取公因式 $e^t$：
\[
\int te^t \, dt = (t - 1)e^t
\]
最后，我们需要加上积分常数 $C$：
\[
\int te^t \, dt = (t - 1)e^t + C
\]
所以，答案是：
\[
\boxed{(t-1)e^t + C}
\]
解析
本题考查不定积分的分部积分法。解题思路是根据分部积分法公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，合理选择$u$和$dv$，然后分别求出$du$和$v$，代入公式进行计算，最后加上积分常数$C$。
- 选择$u$和$dv$：
- 设$u = t$，$dv = e^t \, dt$。
- 求$du$和$v$：
- 对$u = t$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$du = dt$。
- 对$dv = e^t \, dt$积分，根据积分公式$\int e^x dx=e^x + C$，可得$v = e^t$。
- 代入分部积分法公式：
- 根据$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，将$u = t$，$dv = e^t \, dt$，$du = dt$，$v = e^t$代入可得：
- $\int te^t \, dt = t e^t - \int e^t \, dt$。
- 根据$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，将$u = t$，$dv = e^t \, dt$，$du = dt$，$v = e^t$代入可得：
- 计算$\int e^t \, dt$：
- 由积分公式$\int e^x dx=e^x + C$，可得$\int e^t \, dt = e^t$。
- 代回并化简：
- 将$\int e^t \, dt = e^t$代回$\int te^t \, dt = t e^t - \int e^t \, dt$，得到$\int te^t \, dt = t e^t - e^t$。
- 提取公因式$e^t$，可得$\int te^t \, dt = (t - 1)e^t$。
- 加上积分常数$C$：
- 不定积分的结果需要加上积分常数$C$，所以$\int te^t \, dt = (t - 1)e^t + C$。