[例5.14]求微分方程 y''-5y'+6y=0 的通解.

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解法，核心是特征方程法的应用。

解题思路：

1. 构造特征方程：将微分方程中的微分项替换为对应的幂次，得到代数方程。
2. 求解特征根：解二次方程，得到实根或复根。
3. 根据根的情况写出通解：若特征方程有两个不同的实根，则通解为对应指数函数的线性组合。

破题关键：正确写出特征方程并准确求解其根，是本题的核心步骤。

步骤1：构造特征方程

将微分方程 $y'' -5y' +6y =0$ 中的 $y''$、$y'$、$y$ 分别替换为 $r^2$、$r$、$1$，得到特征方程：
$r^2 -5r +6 =0$

步骤2：求解特征根

解方程 $r^2 -5r +6 =0$：

• 因式分解：$(r-2)(r-3)=0$
• 解得特征根：$r_1=2$，$r_2=3$

步骤3：写出通解

由于特征方程有两个不同的实根，通解形式为：
$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
代入 $r_1=2$ 和 $r_2=3$，得：
$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$