20.（填空题，5分）曲线积分int_(L)(e^xsin y-x-y)dx+(e^xcos y-2x)dy=____，其中L是从点A=(4,0)到原点O=(0,0)的上半圆弧y=sqrt(4x-x^2).

为了计算曲线积分 $\int_{L}(e^{x}\sin y - x - y)dx + (e^{x}\cos y - 2x)dy$，其中 $L$ 是从点 $A = (4,0)$ 到原点 $O = (0,0)$ 的上半圆弧 $y = \sqrt{4x - x^2}$，我们可以使用格林定理。格林定理指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $C$ 和一个平面区域 $D$，如果 $L$ 和 $M$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，那么 \[ \oint_C (L \, dx + M \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dA. \] 首先，我们定义 $L(x, y) = e^x \sin y - x - y$ 和 $M(x, y) = e^x \cos y - 2x$。我们需要计算 $\frac{\partial M}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial L}{\partial y}$： \[ \frac{\partial M}{\partial x} = e^x \cos y - 2, \] \[ \frac{\partial L}{\partial y} = e^x \cos y - 1. \] 然后，我们找到它们的差： \[ \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = (e^x \cos y - 2) - (e^x \cos y - 1) = -1. \] 根据格林定理，曲线积分可以转化为二重积分： \[ \int_{L} (e^x \sin y - x - y) \, dx + (e^x \cos y - 2x) \, dy = -\iint_D \, dA, \] 其中 $D$ 是由上半圆弧 $y = \sqrt{4x - x^2}$ 和 x 轴围成的区域。上半圆弧 $y = \sqrt{4x - x^2}$ 可以重写为 $(x-2)^2 + y^2 = 4$，这是一个半径为 2，中心为 $(2,0)$ 的圆的上半部分。区域 $D$ 的面积是这个圆的一半： \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi. \] 因此，二重积分 $\iint_D \, dA$ 等于 $2\pi$，所以曲线积分是： \[ -\iint_D \, dA = -2\pi. \] 由于曲线 $L$ 是从点 $A = (4,0)$ 到原点 $O = (0,0)$ 的，我们需要考虑积分的 orientation。格林定理要求正向，即逆时针方向，但我们的 $L$ 是顺时针方向，所以需要在结果前加一个负号。然而，我们已经计算了 $L$ 的负，所以最终答案是： \[ \boxed{-2\pi}. \]