[题目] int dfrac (xarctan x)(sqrt {1+{x)^2}}dx

步骤 1：分部积分法
我们使用分部积分法，设 $u = \arctan x$，$dv = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$。则 $du = \dfrac{1}{1+x^2}dx$，$v = \sqrt{1+x^2}$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，我们有
$$\int \dfrac{x\arctan x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \arctan x \cdot \sqrt{1+x^2} - \int \sqrt{1+x^2} \cdot \dfrac{1}{1+x^2}dx$$
步骤 3：简化积分
简化积分部分，我们得到
$$\int \dfrac{x\arctan x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \arctan x \cdot \sqrt{1+x^2} - \int \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}dx$$
$$= \arctan x \cdot \sqrt{1+x^2} - \int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$$
步骤 4：计算剩余积分
剩余积分 $\int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$ 是一个标准积分，其结果为 $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$。
步骤 5：组合结果
将所有部分组合起来，我们得到最终结果。