设 3 阶矩阵 A 满足 |2A+E|=|A+2E|=|A-3E|=0 ，则 |A|=( ) 。A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查矩阵特征值与行列式的关系。解题的关键思路是根据已知条件求出矩阵$A$的特征值，再利用矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积这一性质来计算$\vert A\vert$。

步骤一：根据特征值的定义求出矩阵$A$的特征值

已知$\vert 2A + E\vert = \vert A + 2E\vert = \vert A - 3E\vert = 0$。

• 对于$\vert 2A + E\vert = 0$，将其变形为$\vert 2\left(A+\frac{1}{2}E\right)\vert = 0$。
  根据行列式的性质$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$（其中$k$为常数，$n$为矩阵$A$的阶数），这里$n = 3$，则$\vert 2\left(A+\frac{1}{2}E\right)\vert = 2^3\vert A+\frac{1}{2}E\vert = 0$，即$\vert A+\frac{1}{2}E\vert = 0$。
  根据特征值的定义，若$\vert A - \lambda E\vert = 0$，则$\lambda$为矩阵$A$的特征值，所以$\lambda_1 = -\frac{1}{2}$是矩阵$A$的一个特征值。
• 对于$\vert A + 2E\vert = 0$，根据特征值的定义可知$\lambda_2 = - 2$是矩阵$A$的一个特征值。
• 对于$\vert A - 3E\vert = 0$，根据特征值的定义可知$\lambda_3 = 3$是矩阵$A$的一个特征值。

步骤二：根据矩阵的行列式与特征值的关系计算$\vert A\vert$

对于$n$阶矩阵$A$，其行列式$\vert A\vert$等于其所有特征值的乘积，即$\vert A\vert = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$。
因为矩阵$A$是$3$阶矩阵，且$\lambda_1 = -\frac{1}{2}$，$\lambda_2 = - 2$，$\lambda_3 = 3$，所以$\vert A\vert = \lambda_1\times\lambda_2\times\lambda_3 = \left(-\frac{1}{2}\right)\times(-2)\times3 = 3$。