在区间 [0, 10] 上任取一数，记 A = x mid 1 < x leq 5，B = x mid 2 leq x leq 6。求下列事件表达式：(1) A cup B；(2) overline(A) overline(B)；(3) A overline(B)；(4) A cup overline(B)。

我们来逐步分析这道概率与集合相关的题目。

题目给出：

• 在区间 $[0, 10]$ 上任取一个实数。
• 定义两个事件（集合）：
  • $A = \{x \mid 1 < x \leq 5\}$
  • $B = \{x \mid 2 \leq x \leq 6\}$

我们需要求以下四个事件的表达式（即集合表示）：

第一步：理解集合 $A$ 和 $B$

• $A = (1, 5]$：大于1，小于等于5。
• $B = [2, 6]$：大于等于2，小于等于6。

全集是 $[0, 10]$，即我们只考虑这个区间内的数。

(1) $A \cup B$

并集：属于 $A$ 或 $B$ 的所有元素。

我们画出两个区间的范围：

• $A = (1, 5]$
• $B = [2, 6]$

它们在 $[2, 5]$ 上有重叠。

并集是从 $A$ 的左端点 $1$（不包括1）开始，到 $B$ 的右端点 $6$（包括6）结束。

注意：从 $1$ 到 $2$，只有 $A$ 覆盖了 $(1, 2)$，而 $B$ 从 $2$ 开始（包含2），所以并集的左端是 $(1, 2)$ 加上 $[2,6]$，整体是 $(1,6]$。

验证：

• $x \in (1,2)$：属于 $A$，不属于 $B$ → 属于并集
• $x = 2$：属于 $B$ → 属于并集
• $x \in (5,6]$：属于 $B$，不属于 $A$ → 属于并集

所以：
$A \cup B = (1, 6]$

(2) $\overline{A} \overline{B}$

这个表示的是：既不属于 $A$，也不属于 $B$，即 $\overline{A} \cap \overline{B}$。

根据德摩根定律：$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$

我们已经求出 $A \cup B = (1, 6]$

所以：
$\overline{A \cup B} = [0, 10] \setminus (1, 6] = [0, 1] \cup (6, 10]$

解释：

• 从 $0$ 到 $1$：包括 $0$ 和 $1$，因为 $A$ 是 $x > 1$，所以 $x=1$ 不属于 $A$，也不属于 $B$（因为 $B$ 从 $2$ 开始），所以 $[0,1]$ 属于补集。
• 从 $6$ 到 $10$：注意 $B$ 包含 $6$，所以 $x=6$ 属于 $B$，不属于补集；所以补集是 $x > 6$，即 $(6, 10]$

因此：
$\overline{A} \overline{B} = \overline{A} \cap \overline{B} = [0, 1] \cup (6, 10]$

(3) $A \overline{B}$

这表示：属于 $A$ 且 不属于 $B$，即 $A \cap \overline{B}$

我们分析：

• $A = (1, 5]$
• $B = [2, 6]$，所以 $\overline{B} = [0, 2) \cup (6, 10]$

取交集：
$A \cap \overline{B} = (1, 5] \cap \left([0, 2) \cup (6, 10]\right)$

$(1,5]$ 和 $(6,10]$ 没有交集，只考虑和 $[0,2)$ 的交集：

$(1, 5] \cap [0, 2) = (1, 2)$

因为：

• $x > 1$ 且 $x < 2$
• 注意 $x=2$ 属于 $B$，所以不在 $\overline{B}$ 中

所以：
$A \overline{B} = (1, 2)$

(4) $A \cup \overline{B}$

这是：属于 $A$ 或 不属于 $B$ 的集合。

即 $A \cup \overline{B}$

我们已知：

• $A = (1, 5]$
• $\overline{B} = [0, 2) \cup (6, 10]$

求并集：
$A \cup \overline{B} = (1,5] \cup \left([0,2) \cup (6,10]\right)$

合并：

• $(1,5] \cup [0,2) = [0,5]$？注意：
  • $[0,2)$ 和 $(1,5]$ 在 $(1,2)$ 上重叠
  • $[0,2)$ 包含 $[0,1]$ 和 $(1,2)$
  • $(1,5]$ 包含 $(1,2)$ 到 $5$
  • 所以并集是 $[0,5]$？但注意端点：

更仔细看：

• $[0,2)$：包括 $[0,1]$ 和 $(1,2)$，但不包括 $2$
• $(1,5]$：从大于 $1$ 到 $5$，包括 $5$，包括 $2,3,4,5$

所以并集：

• 从 $0$ 到 $5$，除了可能在 $x=2$ 处有没有断点？

不，$(1,5]$ 包含 $[2,5]$，而 $[0,2)$ 包含到但不包括 $2$，但 $(1,5]$ 包含 $2$，所以整体是连续的。

所以：
$[0,2) \cup (1,5] = [0,5]$
因为：

• $[0,1]$ 来自 $[0,2)$
• $(1,2)$ 两者都有
• $[2,5]$ 来自 $A$

并且 $x=2$ 属于 $A$，所以包含。

然后再加上 $(6,10]$

所以：
$A \cup \overline{B} = [0,5] \cup (6,10]$

注意：$x=6$ 属于 $B$，所以不属于 $\overline{B}$，也不属于 $A$（因为 $A$ 最大是 $5$），所以 $x=6$ 不在并集中。

最终答案：

(1) $A \cup B = (1, 6]$

(2) $\overline{A} \overline{B} = [0, 1] \cup (6, 10]$

(3) $A \overline{B} = (1, 2)$

(4) $A \cup \overline{B} = [0, 5] \cup (6, 10]$

答案框：

$\boxed{ \begin{aligned}&(1)\ A \cup B = (1, 6] \\&(2)\ \overline{A} \overline{B} = [0, 1] \cup (6, 10] \\&(3)\ A \overline{B} = (1, 2) \\&(4)\ A \cup \overline{B} = [0, 5] \cup (6, 10]\end{aligned} }$