题目

函数 f(x) = sqrt[3]((x+3)(x+1)) , |x^3 - x| 不可导点的个数为 ______.

函数 $f(x) = \sqrt[3]{(x+3)(x+1)} \, |x^3 - x|$ 不可导点的个数为 ______.

题目解答

答案

函数 $ f(x) = \sqrt[3]{(x+3)(x+1)} |x^3 - x| $ 的不可导点需要在绝对值函数的零点处进行分析。绝对值函数 $ |x^3 - x| $ 的零点为 $ x = -1 $，$ x = 0 $，$ x = 1 $。

  1. 在 $ x = -1 $ 处：
    $ f(-1) = 0 $，且
    $\lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{(2 + h)h} |2h|}{h} = 0,$
    故 $ f'( -1 ) = 0 $，函数在 $ x = -1 $ 处可导。

  2. 在 $ x = 0 $ 处：
    $ f(0) = 0 $，且
    $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} = \sqrt[3]{3}, \quad \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)}{h} = -\sqrt[3]{3},$
    左右极限不相等，故 $ f'(0) $ 不存在，函数在 $ x = 0 $ 处不可导。

  3. 在 $ x = 1 $ 处：
    $ f(1) = 0 $，且
    $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h)}{h} = 4, \quad \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h)}{h} = -4,$
    左右极限不相等，故 $ f'(1) $ 不存在，函数在 $ x = 1 $ 处不可导。

结论：函数在 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $ 处不可导，共2个不可导点。

$\boxed{2}$

解析

本题考查函数不可导点的判断，解题的关键在于找出绝对值函数的零点，然后通过计算函数在这些零点处的左右导数来判断函数是否可导。

步骤一：找出绝对值函数的零点

对于函数$f(x) = \sqrt[3]{(x + 3)(x + 1)}|x^3 - x|$，绝对值函数$|x^3 - x|$的零点可通过令$x^3 - x = 0$来求解。
对$x^3 - x$进行因式分解：
$x^3 - x = x(x^2 - 1)=x(x - 1)(x + 1)=0$
解得$x = -1$，$x = 0$，$x = 1$。

步骤二：判断函数在$x = -1$处的可导性

  • 首先计算$f(-1)$：
    将$x = -1$代入$f(x)$可得$f(-1) = \sqrt[3]{(-1 + 3)(-1 + 1)}|-1^3 - (-1)| = 0$。
  • 然后计算$\lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h)}{h}$：
    $f(-1 + h)=\sqrt[3]{((-1 + h)+ 3)((-1 + h)+ 1)}|(-1 + h)^3 - (-1 + h)|=\sqrt[3]{(2 + h)h}|h^3 - 3h^2 + 3h - 1 + 1 - h|=\sqrt[3]{(2 + h)h}|h^3 - 3h^2 + 2h|$
    当$h\to0$时，$\lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{(2 + h)h}|h^3 - 3h^2 + 2h|}{h}$
    因为$|h^3 - 3h^2 + 2h|$是$h$的高阶无穷小，所以$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{(2 + h)h}|h^3 - 3h^2 + 2h|}{h}=0$，即$f'(-1) = 0$，函数在$x = -1$处可导。

步骤三：判断函数在$x = 0$处的可导性

  • 计算$f(0)$：
    将$x = 0$代入$f(x)$可得$f(0) = \sqrt[3]{(0 + 3)(0 + 1)}|0^3 - 0| = 0$。
  • 计算右导数$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h}$：
    $f(h)=\sqrt[3]{(h + 3)(h + 1)}|h^3 - h|$，当$h\to0^+$时，$|h^3 - h|=h - h^3\approx h$
    $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt[3]{(h + 3)(h + 1)}|h^3 - h|}{h}=\lim_{h \to 0^+} \sqrt[3]{(h + 3)(h + 1)}\frac{|h^3 - h|}{h}=\sqrt[3]{3}$
  • 计算左导数$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)}{h}$：
    当$h\to0^-$时，$|h^3 - h|=h - h^3\approx -h$
    $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)}{h}=\lim_{h \to 0^-} \frac{\sqrt[3]{(h + 3)(h + 1)}|h^3 - h|}{h}=\lim_{h \to 0^-} \sqrt[3]{(h + 3)(h + 1)}\frac{|h^3 - h|}{h}=-\sqrt[3]{3}$
    由于左右导数不相等，所以$f'(0)$不存在，函数在$x = 0$处不可导。

步骤四：判断函数在$x = 1$处的可导性

  • 计算$f(1)$：
    将$x = 1$代入$f(x)$可得$f(1) = \sqrt[3]{(1 + 3)(1 + 1)}|1^3 - 1| = 0$。
  • 计算右导数$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h)}{h}$：
    $f(1 + h)=\sqrt[3]{((1 + h)+ 3)((1 + h)+ 1)}|(1 + h)^3 - (1 + h)|=\sqrt[3]{(4 + h)(2 + h)}|h^3 + 3h^2 + 3h + 1 - 1 - h|=\sqrt[3]{(4 + h)(2 + h)}|h^3 + 3h^2 + 2h|$
    当$h\to0^+$时，$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h)}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt[3]{(4 + h)(2 + h)}|h^3 + 3h^2 + 2h|}{h}=\lim_{h \to 0^+} \sqrt[3]{(4 + h)(2 + h)}\frac{|h^3 + 3h^2 + 2h|}{h}=4$
  • 计算左导数$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h)}{h}$：
    当$h\to0^-$时，$|h^3 + 3h^2 + 2h|\approx -h$
    $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h)}{h}=\lim_{h \to 0^-} \frac{\sqrt[3]{(4 + h)(2 + h)}|h^3 + 3h^2 + 2h|}{h}=\lim_{h \to 0^-} \sqrt[3]{(4 + h)(2 + h)}\frac{|h^3 + 3h^2 + 2h|}{h}=-4$
    由于左右导数不相等，所以$f'(1)$不存在，函数在$x = 1$处不可导。

综上，函数在$x = 0$和$x = 1$处不可导，不可导点的个数为$2$个。