设随机变量X的分布函数为F(x)=1div 2+1div pi arctan x,则其密度函数为f(x)= () A. 1div ( pi (1-x^2)) B. 1div ( pi sqrt {1-x^2)} C. 1div ( pi (1+x^2)) D. 1div ( pi sqrt {1+x^2)}

考查要点：本题主要考查概率密度函数与分布函数的关系，即密度函数是分布函数的导数。

解题核心思路：
根据概率论基本定理，密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数，即$f(x) = F'(x)$。因此，只需对给定的分布函数$F(x)$求导，即可得到正确答案。

破题关键点：

1. 正确求导：对$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan x$中的每一项分别求导。
2. 导数公式应用：需熟练掌握$\arctan x$的导数为$\frac{1}{1+x^2}$。

步骤1：写出分布函数
已知分布函数为：
$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan x$

步骤2：对分布函数求导
密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数，即：
$f(x) = F'(x)$

步骤3：逐项求导

1. 常数项求导：$\frac{1}{2}$的导数为$0$。
2. 第二项求导：对$\frac{1}{\pi} \arctan x$求导，利用$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$，得：
   $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\pi} \arctan x \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

步骤4：合并结果
将两部分的导数相加，得到密度函数：
$f(x) = 0 + \frac{1}{\pi(1+x^2)} = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$

选项匹配：
结果与选项C的表达式一致，故正确答案为C。