题目
9.利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)iiint z dV，其中Q是由曲面z=sqrt(2-x^2)-y^(2)及z=x^2+y^2所围成的闭区域；
9.利用柱面坐标计算下列三重积分:
(1)$\iiint z dV$，其中Q是由曲面$z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$及$z=x^{2}+y^{2}$所围成的闭区域；
题目解答
答案
将曲面方程转换为柱坐标系：
- $z = \sqrt{2 - \rho^2}$
- $z = \rho^2$
求交线：
\[
\rho^2 = \sqrt{2 - \rho^2} \implies \rho^4 + \rho^2 - 2 = 0 \implies \rho^2 = 1 \implies \rho = 1
\]
积分区域：
\[
0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq \rho \leq 1, \quad \rho^2 \leq z \leq \sqrt{2 - \rho^2}
\]
三重积分：
\[
\iiint z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{\rho^2}^{\sqrt{2 - \rho^2}} z \rho \, dz \, d\rho \, d\theta
\]
计算：
\[
\int_{\rho^2}^{\sqrt{2 - \rho^2}} z \, dz = \frac{1}{2} \left[ 2 - \rho^2 - \rho^4 \right]
\]
\[
\int_0^1 \left( 2\rho - \rho^3 - \rho^5 \right) \, d\rho = \frac{7}{12}
\]
\[
\iiint z \, dV = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{7}{12} = \frac{7\pi}{12}
\]
答案：
\[
\boxed{\frac{7\pi}{12}}
\]
解析
步骤 1：转换为柱坐标系
将给定的曲面方程转换为柱坐标系。柱坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，$z = z$，其中$\rho$是径向距离，$\theta$是角度，$z$是高度。因此，曲面方程变为：
- $z = \sqrt{2 - \rho^2}$
- $z = \rho^2$
步骤 2：求交线
求解两个曲面方程的交线，即解方程$\rho^2 = \sqrt{2 - \rho^2}$。通过平方两边，得到$\rho^4 + \rho^2 - 2 = 0$，解得$\rho^2 = 1$，因此$\rho = 1$。
步骤 3：确定积分区域
根据交线和曲面方程，确定积分区域。积分区域为$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq \rho \leq 1$，$\rho^2 \leq z \leq \sqrt{2 - \rho^2}$。
步骤 4：计算三重积分
根据柱坐标系下的三重积分公式，计算$\iiint z \, dV$。积分表达式为：
\[ \iiint z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{\rho^2}^{\sqrt{2 - \rho^2}} z \rho \, dz \, d\rho \, d\theta \]
首先计算内层积分：
\[ \int_{\rho^2}^{\sqrt{2 - \rho^2}} z \, dz = \frac{1}{2} \left[ 2 - \rho^2 - \rho^4 \right] \]
然后计算中间层积分：
\[ \int_0^1 \left( 2\rho - \rho^3 - \rho^5 \right) \, d\rho = \frac{7}{12} \]
最后计算外层积分：
\[ \iiint z \, dV = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{7}{12} = \frac{7\pi}{12} \]
将给定的曲面方程转换为柱坐标系。柱坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，$z = z$，其中$\rho$是径向距离，$\theta$是角度，$z$是高度。因此，曲面方程变为：
- $z = \sqrt{2 - \rho^2}$
- $z = \rho^2$
步骤 2：求交线
求解两个曲面方程的交线，即解方程$\rho^2 = \sqrt{2 - \rho^2}$。通过平方两边，得到$\rho^4 + \rho^2 - 2 = 0$，解得$\rho^2 = 1$，因此$\rho = 1$。
步骤 3：确定积分区域
根据交线和曲面方程，确定积分区域。积分区域为$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq \rho \leq 1$，$\rho^2 \leq z \leq \sqrt{2 - \rho^2}$。
步骤 4：计算三重积分
根据柱坐标系下的三重积分公式，计算$\iiint z \, dV$。积分表达式为：
\[ \iiint z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{\rho^2}^{\sqrt{2 - \rho^2}} z \rho \, dz \, d\rho \, d\theta \]
首先计算内层积分：
\[ \int_{\rho^2}^{\sqrt{2 - \rho^2}} z \, dz = \frac{1}{2} \left[ 2 - \rho^2 - \rho^4 \right] \]
然后计算中间层积分：
\[ \int_0^1 \left( 2\rho - \rho^3 - \rho^5 \right) \, d\rho = \frac{7}{12} \]
最后计算外层积分：
\[ \iiint z \, dV = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{7}{12} = \frac{7\pi}{12} \]