int tan sqrt (1+{x)^2}cdot dfrac (xdx)(sqrt {1+{x)^2}}

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量代换法简化积分表达式的能力。

解题核心思路：观察到积分式中的被积函数形式为 $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，其分子 $x$ 与分母中的 $\sqrt{1+x^2}$ 存在导数关系。因此，选择合适的代换变量（如 $u = \sqrt{1+x^2}$）可以将积分转化为更简单的形式。

关键点：

1. 识别导数结构：分母 $\sqrt{1+x^2}$ 的导数为 $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，与分子 $x$ 直接相关。
2. 变量代换：通过代换 $u = \sqrt{1+x^2}$，将原积分转化为关于 $u$ 的简单积分。

题目修正说明：原题中的极限符号应为积分符号，正确题目为计算不定积分 $\displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$。

步骤 1：变量代换

设 $u = \sqrt{1+x^2}$，则：
$du = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x} \, du.$

步骤 2：改写积分表达式

将原积分中的变量替换为 $u$：
$\int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx = \int \dfrac{x}{u} \cdot \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x} \, du = \int \dfrac{1}{u} \cdot u \, du = \int 1 \, du.$

步骤 3：计算简化后的积分

直接积分得到：
$\int 1 \, du = u + C = \sqrt{1+x^2} + C.$