题目
例4.17 设随机变量X与Y分别表示两个电子元件的寿命(千小时),已知(X,Y)的联合分布函-|||-数为-|||-F(x,y)= ) 1-(e)^-0.5x-(e)^-0.5y+(e)^-0.5(x+y) 0, . , gt 0 gt 0,-|||-其他.-|||-(1)判断X与Y的独立性;-|||-(2)求二维随机变量(X,Y)的概率密度;-|||-(3)求2个元件都可以使用100个小时的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算边缘分布函数
为了判断随机变量X和Y是否独立，我们首先需要计算它们的边缘分布函数。边缘分布函数${F}_{x}(x)$和${F}_{y}(y)$分别表示随机变量X和Y的分布函数。对于给定的联合分布函数$F(x,y)$，边缘分布函数可以通过将联合分布函数在另一个变量上积分得到。
步骤 2：计算边缘分布函数${F}_{x}(x)$
对于随机变量X，边缘分布函数${F}_{x}(x)$可以通过将联合分布函数$F(x,y)$在$y$上积分得到。由于$F(x,y)$在$y$上是连续的，我们可以直接将$y$的范围从$0$到$+\infty$积分。
步骤 3：计算边缘分布函数${F}_{y}(y)$
对于随机变量Y，边缘分布函数${F}_{y}(y)$可以通过将联合分布函数$F(x,y)$在$x$上积分得到。由于$F(x,y)$在$x$上是连续的，我们可以直接将$x$的范围从$0$到$+\infty$积分。
步骤 4：判断独立性
如果随机变量X和Y的联合分布函数$F(x,y)$等于它们的边缘分布函数${F}_{x}(x)$和${F}_{y}(y)$的乘积，即$F(x,y)={F}_{x}(x){F}_{y}(y)$，则随机变量X和Y是独立的。
步骤 5：计算概率密度函数
为了计算二维随机变量(X,Y)的概率密度函数$f(x,y)$，我们需要对联合分布函数$F(x,y)$进行二阶偏导数计算。概率密度函数$f(x,y)$表示随机变量X和Y在给定值$x$和$y$处的概率密度。
步骤 6：计算2个元件都可以使用100个小时的概率
为了计算2个元件都可以使用100个小时的概率，我们需要计算联合分布函数$F(x,y)$在$x=1$和$y=1$处的值。由于随机变量X和Y的单位是千小时，100个小时等于0.1千小时。
为了判断随机变量X和Y是否独立，我们首先需要计算它们的边缘分布函数。边缘分布函数${F}_{x}(x)$和${F}_{y}(y)$分别表示随机变量X和Y的分布函数。对于给定的联合分布函数$F(x,y)$，边缘分布函数可以通过将联合分布函数在另一个变量上积分得到。
步骤 2：计算边缘分布函数${F}_{x}(x)$
对于随机变量X，边缘分布函数${F}_{x}(x)$可以通过将联合分布函数$F(x,y)$在$y$上积分得到。由于$F(x,y)$在$y$上是连续的，我们可以直接将$y$的范围从$0$到$+\infty$积分。
步骤 3：计算边缘分布函数${F}_{y}(y)$
对于随机变量Y，边缘分布函数${F}_{y}(y)$可以通过将联合分布函数$F(x,y)$在$x$上积分得到。由于$F(x,y)$在$x$上是连续的，我们可以直接将$x$的范围从$0$到$+\infty$积分。
步骤 4：判断独立性
如果随机变量X和Y的联合分布函数$F(x,y)$等于它们的边缘分布函数${F}_{x}(x)$和${F}_{y}(y)$的乘积，即$F(x,y)={F}_{x}(x){F}_{y}(y)$，则随机变量X和Y是独立的。
步骤 5：计算概率密度函数
为了计算二维随机变量(X,Y)的概率密度函数$f(x,y)$，我们需要对联合分布函数$F(x,y)$进行二阶偏导数计算。概率密度函数$f(x,y)$表示随机变量X和Y在给定值$x$和$y$处的概率密度。
步骤 6：计算2个元件都可以使用100个小时的概率
为了计算2个元件都可以使用100个小时的概率，我们需要计算联合分布函数$F(x,y)$在$x=1$和$y=1$处的值。由于随机变量X和Y的单位是千小时，100个小时等于0.1千小时。