题目
将质量相同而温度分别为和的两杯水在等压下绝热的混合,求熵变.
将质量相同而温度分别为和的两杯水在等压下绝热的混合,求熵变.
题目解答
答案
解:两杯水等压绝热混合后,终态温度为
.以
、
为状态参量,两杯水的初态分别为
,终态为
.根据热力学基本方程,
,由于
是完整微分,可以沿联结初态和终态的任意积分路径进行积分来求两态的熵差.既然两杯水在初态和终态的压强相同,在积分中可令压强保持不变.在压强不变时,
,故
,积分后得两杯水的熵变分别为
,
,总的熵变等于两杯水的熵变之和
.
解析
步骤 1：确定混合后的终态温度
两杯水在等压下绝热混合，由于质量相同，混合后的终态温度为两杯水初态温度的平均值，即：
\[ T_{\text{终}} = \frac{T_1 + T_2}{2} \]
步骤 2：计算每杯水的熵变
根据热力学基本方程，对于等压过程，熵变可以表示为：
\[ dS = \frac{dQ}{T} = \frac{C_p dT}{T} \]
其中，\( C_p \) 是定压比热容。积分后得到每杯水的熵变：
\[ \Delta S_1 = C_p \ln \frac{T_{\text{终}}}{T_1} = C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_1} \]
\[ \Delta S_2 = C_p \ln \frac{T_{\text{终}}}{T_2} = C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \]
步骤 3：计算总的熵变
总的熵变等于两杯水的熵变之和：
\[ \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_1} + C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \]
\[ \Delta S = C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2T_1} \cdot \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \right) \]
\[ \Delta S = C_p \ln \left( \frac{(T_1 + T_2)^2}{4T_1 T_2} \right) \]
两杯水在等压下绝热混合，由于质量相同，混合后的终态温度为两杯水初态温度的平均值，即：
\[ T_{\text{终}} = \frac{T_1 + T_2}{2} \]
步骤 2：计算每杯水的熵变
根据热力学基本方程，对于等压过程，熵变可以表示为：
\[ dS = \frac{dQ}{T} = \frac{C_p dT}{T} \]
其中，\( C_p \) 是定压比热容。积分后得到每杯水的熵变：
\[ \Delta S_1 = C_p \ln \frac{T_{\text{终}}}{T_1} = C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_1} \]
\[ \Delta S_2 = C_p \ln \frac{T_{\text{终}}}{T_2} = C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \]
步骤 3：计算总的熵变
总的熵变等于两杯水的熵变之和：
\[ \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_1} + C_p \ln \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \]
\[ \Delta S = C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2T_1} \cdot \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \right) \]
\[ \Delta S = C_p \ln \left( \frac{(T_1 + T_2)^2}{4T_1 T_2} \right) \]