题目
9.填空题 int_(ABCD)(dx+dy)/(|x|+|y|)=( )，其中ABCDA是以A.(1,0)，B.(0,1)，C.(-1,0)，D.(0,-1)为顶点的正方形. 第1空：
9.填空题 $\int_{ABCD}\frac{dx+dy}{|x|+|y|}=( )$，其中$ABCDA是以
A.(1,0)，
B.(0,1)，
C.(-1,0)，
D.(0,-1)$为顶点的正方形. 第1空：
A.(1,0)，
B.(0,1)，
C.(-1,0)，
D.(0,-1)$为顶点的正方形. 第1空：
题目解答
答案
将正方形 $ABCDA$ 的四条边分别参数化并计算积分：
1. **边 $AB$：** $x = 1 - t$，$y = t$，$t \in [0,1]$
\[
\int_{AB} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{-dt + dt}{1} = 0
\]
2. **边 $BC$：** $x = -t$，$y = 1 - t$，$t \in [0,1]$
\[
\int_{BC} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{-2dt}{1} = -2
\]
3. **边 $CD$：** $x = -1 + t$，$y = -t$，$t \in [0,1]$
\[
\int_{CD} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{0}{1} = 0
\]
4. **边 $DA$：** $x = t$，$y = -1 + t$，$t \in [0,1]$
\[
\int_{DA} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{2dt}{1} = 2
\]
将四条边积分相加：
\[
\int_{ABCDA} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = 0 - 2 + 0 + 2 = 0
\]
**答案：** $\boxed{0}$
解析
步骤 1：参数化边 $AB$
边 $AB$ 从点 $A(1,0)$ 到点 $B(0,1)$，可以参数化为 $x = 1 - t$，$y = t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{AB} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{-dt + dt}{1} = 0 \]
步骤 2：参数化边 $BC$
边 $BC$ 从点 $B(0,1)$ 到点 $C(-1,0)$，可以参数化为 $x = -t$，$y = 1 - t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{BC} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{-2dt}{1} = -2 \]
步骤 3：参数化边 $CD$
边 $CD$ 从点 $C(-1,0)$ 到点 $D(0,-1)$，可以参数化为 $x = -1 + t$，$y = -t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{CD} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{0}{1} = 0 \]
步骤 4：参数化边 $DA$
边 $DA$ 从点 $D(0,-1)$ 到点 $A(1,0)$，可以参数化为 $x = t$，$y = -1 + t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{DA} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{2dt}{1} = 2 \]
步骤 5：计算总积分
将四条边的积分相加，得到：
\[ \int_{ABCDA} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = 0 - 2 + 0 + 2 = 0 \]
边 $AB$ 从点 $A(1,0)$ 到点 $B(0,1)$，可以参数化为 $x = 1 - t$，$y = t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{AB} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{-dt + dt}{1} = 0 \]
步骤 2：参数化边 $BC$
边 $BC$ 从点 $B(0,1)$ 到点 $C(-1,0)$，可以参数化为 $x = -t$，$y = 1 - t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{BC} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{-2dt}{1} = -2 \]
步骤 3：参数化边 $CD$
边 $CD$ 从点 $C(-1,0)$ 到点 $D(0,-1)$，可以参数化为 $x = -1 + t$，$y = -t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{CD} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{0}{1} = 0 \]
步骤 4：参数化边 $DA$
边 $DA$ 从点 $D(0,-1)$ 到点 $A(1,0)$，可以参数化为 $x = t$，$y = -1 + t$，其中 $t \in [0,1]$。代入积分表达式，得到：
\[ \int_{DA} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = \int_0^1 \frac{2dt}{1} = 2 \]
步骤 5：计算总积分
将四条边的积分相加，得到：
\[ \int_{ABCDA} \frac{dx + dy}{|x| + |y|} = 0 - 2 + 0 + 2 = 0 \]