1、设A、B都是n阶矩阵,问:下列命题是否成立?若成立给出证明;若不成立举反例说-|||-明.-|||-(1)若A、B皆不可逆,则 A+B 也不可逆;-|||-(2)若AB不可逆,则A,B不同时可逆;-|||-(3)若AB不可逆,则A,B都不可逆;-|||-(4)若A可逆,则kA可逆(k是常数).

考查要点：矩阵可逆性的性质与相关命题的真假判断。
解题核心思路：

1. 矩阵可逆的条件：方阵可逆当且仅当其行列式非零。
2. 矩阵运算的性质：如乘积可逆性、加法的不确定性等。
3. 反例构造：通过构造具体矩阵验证命题是否成立。

破题关键点：

• 命题（1）：两个不可逆矩阵的和可能可逆，需构造反例。
• 命题（2）：利用可逆矩阵乘积仍可逆的性质直接推导。
• 命题（3）：存在AB不可逆但A或B可逆的情况，需举反例。
• 命题（4）：注意常数k为零时的特殊情况。

第（1）题

命题：若A、B皆不可逆，则A+B也不可逆。
结论：不成立。
反例：
设
$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
此时A、B均不可逆（行列式为0），但
$A + B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \quad (\text{可逆})$

第（2）题

命题：若AB不可逆，则A、B不同时可逆。
结论：成立。
证明：
若A、B均可逆，则存在逆矩阵$A^{-1}$、$B^{-1}$，使得
$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$
即AB可逆，与AB不可逆矛盾。因此命题成立。

第（3）题

命题：若AB不可逆，则A、B都不可逆。
结论：不成立。
反例：
设A为可逆矩阵（如单位矩阵），B为不可逆矩阵（如
$B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$
则
$AB = B \quad (\text{不可逆})$
但A可逆，B不可逆。

第（4）题

命题：若A可逆，则kA可逆（k是常数）。
结论：不成立。
反例：
当$k = 0$时，$kA = O$（零矩阵），显然不可逆。