题目
5.求下列参数方程所确定的函数的导数 dfrac (dy)(dx):-|||-(1) ) x=a(t)^2 y=(bt)^2 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解第一组参数方程的导数
对于第一组参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=a{t}^{2}\\ y=b{t}^{3}\end{matrix} \right.$，我们首先分别对 $t$ 求导。
- $x$ 对 $t$ 的导数为 $\dfrac{dx}{dt} = 2at$
- $y$ 对 $t$ 的导数为 $\dfrac{dy}{dt} = 3bt^2$
然后，根据链式法则，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$，代入上述导数，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3bt^2}{2at} = \dfrac{3b}{2a}t$。
步骤 2：求解第二组参数方程的导数
对于第二组参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=\theta (1-\sin \theta )\\ y=\theta \cos \theta .\end{matrix} \right.$，我们同样分别对 $t$ 求导。
- $x$ 对 $\theta$ 的导数为 $\dfrac{dx}{d\theta} = 1 - \sin \theta - \theta \cos \theta$
- $y$ 对 $\theta$ 的导数为 $\dfrac{dy}{d\theta} = \cos \theta - \theta \sin \theta$
然后，根据链式法则，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}$，代入上述导数，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos \theta - \theta \sin \theta}{1 - \sin \theta - \theta \cos \theta}$。
对于第一组参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=a{t}^{2}\\ y=b{t}^{3}\end{matrix} \right.$，我们首先分别对 $t$ 求导。
- $x$ 对 $t$ 的导数为 $\dfrac{dx}{dt} = 2at$
- $y$ 对 $t$ 的导数为 $\dfrac{dy}{dt} = 3bt^2$
然后，根据链式法则，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$，代入上述导数，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3bt^2}{2at} = \dfrac{3b}{2a}t$。
步骤 2：求解第二组参数方程的导数
对于第二组参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=\theta (1-\sin \theta )\\ y=\theta \cos \theta .\end{matrix} \right.$，我们同样分别对 $t$ 求导。
- $x$ 对 $\theta$ 的导数为 $\dfrac{dx}{d\theta} = 1 - \sin \theta - \theta \cos \theta$
- $y$ 对 $\theta$ 的导数为 $\dfrac{dy}{d\theta} = \cos \theta - \theta \sin \theta$
然后，根据链式法则，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}$，代入上述导数，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos \theta - \theta \sin \theta}{1 - \sin \theta - \theta \cos \theta}$。