题目
10.判断题（10分）曲面 S _ ( 1 ) : z = x ^ ( 2 ) + y ^ ( 2 ) 与平面 S _ ( 2 ) : x + y + z = 1 的交线上的点到原点的距离最大值是 9 + 5 sqrt ( 3 ) 。A. √B. ×
10.判断题（10分）
曲面 $ S _ { 1 } $: $ z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 与平面 $ S _ { 2 } $: $ x + y + z = 1 $ 的交线上的点到原点的距离最大值是 $ 9 + 5 \sqrt { 3 } $。
A. √
B. ×
题目解答
答案
B. ×
解析
步骤 1：确定交线方程
曲面 $ S _ { 1 } $: $ z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 与平面 $ S _ { 2 } $: $ x + y + z = 1 $ 的交线，可以通过将 $ z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 代入 $ x + y + z = 1 $ 得到。因此，交线方程为 $ x + y + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $。
步骤 2：求解交线上的点到原点的距离
设交线上的点为 $(x, y, z)$，则该点到原点的距离为 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。由于 $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $，则 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)^2}$。
步骤 3：求解距离的最大值
为了求解距离的最大值，我们需要对 $d$ 进行求导，找到其极值点。令 $u = x^2 + y^2$，则 $d = \sqrt{u + u^2}$。对 $u$ 求导，得到 $d' = \frac{1 + 2u}{2\sqrt{u + u^2}}$。令 $d' = 0$，得到 $u = -\frac{1}{2}$，但由于 $u = x^2 + y^2 \geq 0$，所以 $u = -\frac{1}{2}$ 不是极值点。因此，我们需要考虑边界条件，即 $x + y + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$。通过求解该方程，可以得到 $x^2 + y^2$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$，此时 $d = \sqrt{\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。因此，距离的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，而不是 $9 + 5 \sqrt { 3 }$。
曲面 $ S _ { 1 } $: $ z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 与平面 $ S _ { 2 } $: $ x + y + z = 1 $ 的交线，可以通过将 $ z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 代入 $ x + y + z = 1 $ 得到。因此，交线方程为 $ x + y + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $。
步骤 2：求解交线上的点到原点的距离
设交线上的点为 $(x, y, z)$，则该点到原点的距离为 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。由于 $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $，则 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)^2}$。
步骤 3：求解距离的最大值
为了求解距离的最大值，我们需要对 $d$ 进行求导，找到其极值点。令 $u = x^2 + y^2$，则 $d = \sqrt{u + u^2}$。对 $u$ 求导，得到 $d' = \frac{1 + 2u}{2\sqrt{u + u^2}}$。令 $d' = 0$，得到 $u = -\frac{1}{2}$，但由于 $u = x^2 + y^2 \geq 0$，所以 $u = -\frac{1}{2}$ 不是极值点。因此，我们需要考虑边界条件，即 $x + y + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$。通过求解该方程，可以得到 $x^2 + y^2$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$，此时 $d = \sqrt{\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。因此，距离的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，而不是 $9 + 5 \sqrt { 3 }$。