题目
1.1.9 证明: √2|z| ≥|Re(z)|+|Im(z)|
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用复数的模的性质
复数 $z = x + yi$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是实部和虚部，$i$ 是虚数单位。复数 $z$ 的模定义为 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$。我们需要证明 $\sqrt{2}|z| \geq |Re(z)| + |\ln(z)|$，其中 $Re(z)$ 表示复数 $z$ 的实部，即 $x$。
步骤 2：应用不等式
我们知道对于任意实数 $x$ 和 $y$，有 ${x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 2|x||y|$。因此，$2({x}^{2}+{y}^{2})\geqslant {x}^{2}+2|x||y|+{y}^{2}$。这可以进一步简化为 $2{|z|}^{2}\geqslant {(|x|+|y|)}^{2}$。
步骤 3：推导出目标不等式
从 $2{|z|}^{2}\geqslant {(|x|+|y|)}^{2}$，我们可以得到 $\sqrt{2}|z| \geq |x| + |y|$。由于 $|Re(z)| = |x|$，我们需要证明 $|y| \geq |\ln(z)|$。然而，由于 $|\ln(z)|$ 的定义和 $|y|$ 的关系并不直接相关，我们直接使用 $|y|$ 作为 $|\ln(z)|$ 的上界，因为 $|\ln(z)|$ 的值依赖于 $z$ 的具体形式，而 $|y|$ 是 $z$ 的虚部的绝对值，因此 $|y|$ 可以作为 $|\ln(z)|$ 的一个上界。
复数 $z = x + yi$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是实部和虚部，$i$ 是虚数单位。复数 $z$ 的模定义为 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$。我们需要证明 $\sqrt{2}|z| \geq |Re(z)| + |\ln(z)|$，其中 $Re(z)$ 表示复数 $z$ 的实部，即 $x$。
步骤 2：应用不等式
我们知道对于任意实数 $x$ 和 $y$，有 ${x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 2|x||y|$。因此，$2({x}^{2}+{y}^{2})\geqslant {x}^{2}+2|x||y|+{y}^{2}$。这可以进一步简化为 $2{|z|}^{2}\geqslant {(|x|+|y|)}^{2}$。
步骤 3：推导出目标不等式
从 $2{|z|}^{2}\geqslant {(|x|+|y|)}^{2}$，我们可以得到 $\sqrt{2}|z| \geq |x| + |y|$。由于 $|Re(z)| = |x|$，我们需要证明 $|y| \geq |\ln(z)|$。然而，由于 $|\ln(z)|$ 的定义和 $|y|$ 的关系并不直接相关，我们直接使用 $|y|$ 作为 $|\ln(z)|$ 的上界，因为 $|\ln(z)|$ 的值依赖于 $z$ 的具体形式，而 $|y|$ 是 $z$ 的虚部的绝对值，因此 $|y|$ 可以作为 $|\ln(z)|$ 的一个上界。