题目
设B是椭圆C：((x)^2)/((a)^2)+((y)^2)/((b)^2)=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ）A. [(sqrt(2))/(2)，1）B. [(1)/(2)，1）C. （0，(sqrt(2))/(2)]D. （0，(1)/(2)]
设B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
B. [$\frac{1}{2}$，1）
C. （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
D. （0，$\frac{1}{2}$]
题目解答
答案
C. （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
解析
步骤 1：确定点B的坐标
点B是椭圆C的上顶点，因此其坐标为（0，b）。
步骤 2：设P点坐标并代入椭圆方程
设P点坐标为（x_0，y_0），则根据椭圆方程有$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1。
步骤 3：计算|PB|的平方
根据点P和点B的坐标，可以计算|PB|的平方为|PB|^{2}=x_0^{2}+（y_0-b）^{2}。将x_0^{2}用椭圆方程表示，得到|PB|^{2}=-$\frac{\;{c}^{2}}{{b}^{2}}$y_0^{2}-2by_0+a^{2}+b^{2}，其中y_0∈[-b，b]。
步骤 4：分析|PB|^{2}的取值范围
由于|PB|^{2}是一个关于y_0的二次函数，其对称轴为y_0=-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$。当对称轴位于y_0=-b的左侧或重合时，即b≥c时，|PB|^{2}的最大值在y_0=-b时取得，此时|PB|=2b。当对称轴位于y_0=-b的右侧时，即b＜c时，|PB|^{2}的最大值在y_0=-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$时取得，此时需要满足|PB|^{2}≤4b^{2}。
步骤 5：求解离心率的取值范围
当b≥c时，离心率e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$。当b＜c时，通过解不等式a^{4}-4a^{2}c^{2}+4c^{4}≤0，得到a=$\sqrt{2}$c，即b=c，这与b＜c矛盾，因此不满足题意。综上所述，离心率的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]。
点B是椭圆C的上顶点，因此其坐标为（0，b）。
步骤 2：设P点坐标并代入椭圆方程
设P点坐标为（x_0，y_0），则根据椭圆方程有$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1。
步骤 3：计算|PB|的平方
根据点P和点B的坐标，可以计算|PB|的平方为|PB|^{2}=x_0^{2}+（y_0-b）^{2}。将x_0^{2}用椭圆方程表示，得到|PB|^{2}=-$\frac{\;{c}^{2}}{{b}^{2}}$y_0^{2}-2by_0+a^{2}+b^{2}，其中y_0∈[-b，b]。
步骤 4：分析|PB|^{2}的取值范围
由于|PB|^{2}是一个关于y_0的二次函数，其对称轴为y_0=-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$。当对称轴位于y_0=-b的左侧或重合时，即b≥c时，|PB|^{2}的最大值在y_0=-b时取得，此时|PB|=2b。当对称轴位于y_0=-b的右侧时，即b＜c时，|PB|^{2}的最大值在y_0=-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$时取得，此时需要满足|PB|^{2}≤4b^{2}。
步骤 5：求解离心率的取值范围
当b≥c时，离心率e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$。当b＜c时，通过解不等式a^{4}-4a^{2}c^{2}+4c^{4}≤0，得到a=$\sqrt{2}$c，即b=c，这与b＜c矛盾，因此不满足题意。综上所述，离心率的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]。