题目

不定积分int dfrac (1+sin x)(1+cos x)(e)^xdx=

不定积分 $\int_{ }^{ }\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx=$

题目解答

答案

$\int_{ }^{ }\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx$

$=\int_{ }^{ }\frac{1+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}}e^xdx$

$=\int_{ }^{ }\tan\frac{x}{2}de^x+\int_{ }^{ }\frac{e^x}{2\cos^2\frac{x}{2}}dx$

$=e^x\tan\frac{x}{2}-\int_{ }^{ }\frac{e^x}{2\cos^2\frac{x}{2}}dx+\int_{ }^{ }\frac{e^x}{2\cos^2\frac{x}{2}}dx$

$=e^x\tan\frac{x}{2}+C$ .

解析

步骤 1：化简被积函数
将被积函数中的三角函数进行化简，利用三角恒等变换公式，将$\sin x$和$\cos x$表示为$\sin \dfrac{x}{2}$和$\cos \dfrac{x}{2}$的形式。
步骤 2：分部积分
将化简后的被积函数进行分部积分，其中一部分为$\tan \dfrac{x}{2}$，另一部分为${e}^{x}$。
步骤 3：计算积分
计算分部积分的结果，得到最终的不定积分表达式。