进行重复独立试验,设每次试验成功的概-|||-率为p,失败的概率为-|||-=1-p(0lt plt 1).-|||-(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表-|||-示所需的试验次数,求X的分布律.(此时称UND.取-|||-从以p为参数的几何分布.)-|||-(2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分-|||-布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布或负二项分布.)-|||-(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投-|||-篮的次数,写出X的分布律,并计算. 取取偶数的概率.

几何分布与负二项分布的核心理解

1. 几何分布（第1题）：描述首次成功所需的试验次数。关键点在于前k-1次失败，第k次成功，概率为$q^{k-1}p$。
2. 负二项分布（第2题）：描述达到r次成功所需的试验次数。需注意前k-1次中有r-1次成功，第k次成功，概率为组合数$\binom{k-1}{r-1}$乘以$p^r q^{k-r}$。
3. 应用题（第3题）：直接应用几何分布公式，再通过无穷等比数列求和计算偶数概率。

第（1）题

几何分布的推导

• 关键事件：试验进行到首次成功，需进行k次试验。
• 条件：前k-1次均失败，第k次成功。
• 概率计算：
  $P\{X=k\} = q^{k-1} p = (1-p)^{k-1} p, \quad k=1,2,3,\dots$

第（2）题

负二项分布的推导

• 关键事件：试验进行到第r次成功，需进行k次试验。
• 条件：前k-1次中有r-1次成功，第k次成功。
• 概率计算：
  $P\{Y=k\} = \binom{k-1}{r-1} p^r q^{k-r}, \quad k=r, r+1, r+2,\dots$

第（3）题

分布律

• 直接应用几何分布：
  $P\{X=k\} = 0.45 \cdot (0.55)^{k-1}, \quad k=1,2,3,\dots$

偶数概率计算

• 目标：求$P\{X \text{为偶数}\} = \sum_{k=1}^{\infty} P\{X=2k\}$。
• 级数展开：
  $\sum_{k=1}^{\infty} 0.45 \cdot (0.55)^{2k-1} = \frac{0.45 \cdot 0.55}{1 - (0.55)^2} = \frac{11}{31}.$