计算下列第一型曲线积分:-|||-(int )_(1)^(({x^2+{y)^2)}^dfrac (1{2)}ds} ,其中L是以原点为中心,R为半径的右半圆周

步骤 1：参数化曲线
给定的曲线是右半圆周，以原点为中心，半径为R。我们可以使用参数方程来表示这个曲线。设参数为 $\theta$，则有：
$$
x = R\cos \theta, \quad y = R\sin \theta
$$
其中，$\theta$ 的取值范围是 $-\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$。

步骤 2：计算微分弧长 $ds$
微分弧长 $ds$ 可以通过参数方程的导数来计算。首先，计算 $x$ 和 $y$ 对 $\theta$ 的导数：
$$
\frac{dx}{d\theta} = -R\sin \theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = R\cos \theta
$$
然后，根据微分弧长的公式 $ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta$，我们有：
$$
ds = \sqrt{(-R\sin \theta)^2 + (R\cos \theta)^2} d\theta = R d\theta
$$

步骤 3：计算积分
现在，我们可以将积分转换为关于 $\theta$ 的积分。给定的积分是：
$$
\int_{L} (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} ds
$$
将 $x = R\cos \theta$，$y = R\sin \theta$ 和 $ds = R d\theta$ 代入，得到：
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (R^2\cos^2 \theta + R^2\sin^2 \theta)^{\frac{1}{2}} R d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^2 d\theta
$$
由于 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，所以：
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^2 d\theta = R^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = R^2 \left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = R^2 \left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = R^2 \pi
$$