题目
极限 lim_((x,y)to (0,0)) (xy^2)/(x^2 + y^4) = ( ).A. 1B. 不存在C. 2D. 0
极限 $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} = (\quad)$.
A. 1
B. 不存在
C. 2
D. 0
题目解答
答案
B. 不存在
解析
步骤 1：考虑路径 $y=0$ 或 $x=0$
当 $y=0$ 时，表达式变为 $\frac{0}{x^2}$，极限为 $0$。
当 $x=0$ 时，表达式变为 $\frac{0}{y^4}$，极限也为 $0$。
步骤 2：考虑路径 $y=kx$
代入 $y=kx$，表达式变为 $\frac{k^2x^3}{x^2(1+k^4x^2)}$，当 $x \to 0$ 时，极限为 $0$。
步骤 3：考虑路径 $x=y^2$
代入 $x=y^2$，表达式变为 $\frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}$，极限为 $\frac{1}{2}$。
由于不同路径下极限值不一致（$0$ 和 $\frac{1}{2}$），原极限不存在。
当 $y=0$ 时，表达式变为 $\frac{0}{x^2}$，极限为 $0$。
当 $x=0$ 时，表达式变为 $\frac{0}{y^4}$，极限也为 $0$。
步骤 2：考虑路径 $y=kx$
代入 $y=kx$，表达式变为 $\frac{k^2x^3}{x^2(1+k^4x^2)}$，当 $x \to 0$ 时，极限为 $0$。
步骤 3：考虑路径 $x=y^2$
代入 $x=y^2$，表达式变为 $\frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}$，极限为 $\frac{1}{2}$。
由于不同路径下极限值不一致（$0$ 和 $\frac{1}{2}$），原极限不存在。