已知x=1是函数f（x）=（x-1）2（x-a）的极小值点，那么a的取值范围是（ ）A. （-∞，1）B. （1，+∞）C. （-∞，1]D. [1，+∞）

考查要点：本题主要考查函数极值点的判定条件，涉及导数的计算及极值存在的第二充分条件（二阶导数法）。

解题核心思路：

1. 确定临界点：计算一阶导数并验证$x=1$是否为临界点。
2. 判断极值性质：通过二阶导数在$x=1$处的符号确定是否为极小值点。
3. 参数范围分析：结合二阶导数的条件推导$a$的取值范围，并排除边界值的特殊情况。

破题关键点：

• 二阶导数的符号直接决定极值性质。
• 当$a=1$时需特殊分析，此时二阶导数为零，需进一步判断是否为极值点。

步骤1：计算一阶导数
函数$f(x)=(x-1)^2(x-a)$，利用乘积法则求导：
$f'(x) = 2(x-1)(x-a) + (x-1)^2 = (x-1)\left[2(x-a) + (x-1)\right] = (x-1)(3x - 2a - 1)$

步骤2：验证$x=1$为临界点
将$x=1$代入$f'(x)$，得：
$f'(1) = (1-1)(3 \cdot 1 - 2a - 1) = 0$
满足临界点条件。

步骤3：计算二阶导数
对$f'(x)$求导：
$f''(x) = \frac{d}{dx}\left[(x-1)(3x - 2a - 1)\right] = (3x - 2a - 1) + 3(x-1) = 6x - 2a - 4$

步骤4：代入$x=1$判断极值性质
$f''(1) = 6 \cdot 1 - 2a - 4 = 2 - 2a$
若$x=1$为极小值点，则需$f''(1) > 0$，即：
$2 - 2a > 0 \quad \Rightarrow \quad a < 1$

步骤5：排除边界值$a=1$
当$a=1$时，函数变为$f(x)=(x-1)^3$，此时$f'(x)=3(x-1)^2$，$f''(x)=6(x-1)$。在$x=1$处，$f''(1)=0$，需进一步分析：

• 当$x$接近1时，$f(x)$在$x=1$附近符号不变（左侧为负，右侧为正），说明$x=1$是拐点而非极值点。
  因此，$a=1$不满足条件。

结论：$a$的取值范围为$(-\infty, 1)$，对应选项A。