计算cos(lnx)dx

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是处理含有对数函数与三角函数复合的积分问题。

解题核心思路：

1. 分部积分法是解决本题的关键，需要两次应用分部积分，将原积分转化为自身的形式，从而建立方程求解。
2. 选择合适的分部积分变量：第一次设 $u = \cos(\ln x)$，第二次设 $u = \sin(\ln x)$，通过两次分部积分将原积分表达式重组。
3. 移项整理：通过代数变形将原积分从方程中分离出来，最终得到结果。

分部积分法应用步骤

第一次分部积分

设 $u = \cos(\ln x)$，则 $du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx$；
设 $dv = dx$，则 $v = x$。
根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$：
$\begin{aligned}\int \cos(\ln x) dx &= x \cos(\ln x) - \int x \cdot \left( -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx \\&= x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) dx.\end{aligned}$

第二次分部积分

对 $\int \sin(\ln x) dx$ 再次应用分部积分：
设 $u = \sin(\ln x)$，则 $du = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx$；
设 $dv = dx$，则 $v = x$。
则：
$\begin{aligned}\int \sin(\ln x) dx &= x \sin(\ln x) - \int x \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx \\&= x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx.\end{aligned}$

代入原方程

将第二次分部积分的结果代入第一次的结果：
$\begin{aligned}\int \cos(\ln x) dx &= x \cos(\ln x) + \left[ x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx \right] \\&= x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx.\end{aligned}$

移项整理

将等式右边的 $\int \cos(\ln x) dx$ 移到左边：
$2 \int \cos(\ln x) dx = x \left[ \cos(\ln x) + \sin(\ln x) \right].$
两边除以 $2$ 并添加常数项 $C$：
$\int \cos(\ln x) dx = \frac{x}{2} \left[ \cos(\ln x) + \sin(\ln x) \right] + C.$