求极限lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(tan x)-dfrac (1)({e)^x-1})-|||-__

步骤 1：通分
将给定的表达式$\dfrac {1}{\tan x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1}$通分，得到$\dfrac {{e}^{x}-\tan x-1}{\tan x({e}^{x}-1)}$。
步骤 2：使用泰勒公式
使用泰勒公式展开${e}^{x}$和$\tan x$，得到${e}^{x}=1+x+\dfrac {{x}^{2}}{2}+\dfrac {{x}^{3}}{6}+o({x}^{3})$和$\tan x=x+\dfrac {1}{3}{x}^{3}+o({x}^{3})$。
步骤 3：计算分子
将泰勒展开式代入分子${e}^{x}-\tan x-1$，得到$\dfrac {{x}^{2}}{2}+o({x}^{2})$。
步骤 4：计算分母
由等价无穷小知，$({e}^{x}-1)\tan x\sim {x}^{2}$。
步骤 5：求极限
将分子和分母代入原式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{2}}{{x}^{2}}=\dfrac {1}{2}$。