题目

一、单选题（共50分） 题型说明：2分/题 47.（单选题，2.0分） (d)/(dx)int_(1)^2f(x+t)dt=（ ） A. f(x+1) B. f(x+2)-f(x+1) C. f(x+2) D. f(x+1)-f(x)

一、单选题（共50分） 题型说明：2分/题 47.（单选题，2.0分） $\frac{d}{dx}\int_{1}^{2}f(x+t)dt=$（ ）
A. f(x+1)
B. f(x+2)-f(x+1)
C. f(x+2)
D. f(x+1)-f(x)

题目解答

答案

为了求解 $\frac{d}{dx}\int_{1}^{2}f(x+t)dt$，我们需要使用微积分基本定理和链式法则。下面将逐步进行解答。 1. **定义积分函数：** 令 $F(x) = \int_{1}^{2} f(x+t) \, dt$。 2. **使用换元法：** 设 $u = x + t$，则 $du = dt$。当 $t = 1$ 时， $u = x + 1$；当 $t = 2$ 时， $u = x + 2$。因此，积分可以重写为： \[ F(x) = \int_{x+1}^{x+2} f(u) \, du. \] 3. **对 $F(x)$ 求导：** 根据微积分基本定理，如果 $G(u)$ 是 $f(u)$ 的原函数，即 $G'(u) = f(u)$，那么： \[ F(x) = G(x+2) - G(x+1). \] 现在，对 $F(x)$ 关于 $x$ 求导，使用链式法则： \[ F'(x) = \frac{d}{dx} [G(x+2) - G(x+1)] = G'(x+2) \cdot \frac{d}{dx}(x+2) - G'(x+1) \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = G'(x+2) \cdot 1 - G'(x+1) \cdot 1 = G'(x+2) - G'(x+1). \] 因为 $G'(u) = f(u)$，所以： \[ F'(x) = f(x+2) - f(x+1). \] 4. **结论：** 因此，$\frac{d}{dx}\int_{1}^{2}f(x+t)dt = f(x+2) - f(x+1)$。 正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查变限积分的求导法则，以及换元积分法的应用。
解题思路：

  1. 变量替换：将积分变量从$t$转换为$u = x + t$，使积分上下限变为关于$x$的表达式。
  2. 应用微积分基本定理：将积分表达式转化为原函数的差形式，再对$x$求导。
  3. 链式法则：对原函数的差求导时，需注意上下限对$x$的依赖关系。

关键点：

  • 换元法简化积分形式，将被积函数中的$x$与$t$分离。
  • 变限积分求导公式：若$F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(u) du$，则$F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$。

步骤1：变量替换

令$u = x + t$，则$du = dt$。当$t = 1$时，$u = x + 1$；当$t = 2$时，$u = x + 2$。原积分可改写为：
$\int_{1}^{2} f(x+t) dt = \int_{x+1}^{x+2} f(u) du.$

步骤2：应用变限积分求导公式

设$F(x) = \int_{x+1}^{x+2} f(u) du$，根据变限积分求导法则：
$F'(x) = f(x+2) \cdot \frac{d}{dx}(x+2) - f(x+1) \cdot \frac{d}{dx}(x+1).$

步骤3：计算导数

由于$\frac{d}{dx}(x+2) = 1$和$\frac{d}{dx}(x+1) = 1$，代入得：
$F'(x) = f(x+2) \cdot 1 - f(x+1) \cdot 1 = f(x+2) - f(x+1).$

结论：导数为$f(x+2) - f(x+1)$，对应选项B。