题目
微分方程 y'' + 6y' + 13y = 0 的通解为____.A. y = C_1 e^-3x + C_2 e^3xB. y = e^-3x (C_1 cos 2x + C_2 sin 2x)C. y = (C_1 x + C_2)e^-3xD. y = (C_1 x + C_2)e^3x
微分方程 $y'' + 6y' + 13y = 0$ 的通解为____.
A. $y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{3x}$
B. $y = e^{-3x} (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$
C. $y = (C_1 x + C_2)e^{-3x}$
D. $y = (C_1 x + C_2)e^{3x}$
题目解答
答案
B. $y = e^{-3x} (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$
解析
步骤 1：确定特征方程
对于微分方程 $y'' + 6y' + 13y = 0$，其特征方程为 $r^2 + 6r + 13 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = 6$，$c = 13$，我们得到：
\[ r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i \]
步骤 3：确定通解形式
特征方程的根是复数 $-3 + 2i$ 和 $-3 - 2i$。对于二阶线性齐次微分方程，如果特征方程的根是复数 $\alpha \pm \beta i$，那么微分方程的通解为：
\[ y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \]
在本例中，$\alpha = -3$ 和 $\beta = 2$，因此通解为：
\[ y = e^{-3x} (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) \]
对于微分方程 $y'' + 6y' + 13y = 0$，其特征方程为 $r^2 + 6r + 13 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = 6$，$c = 13$，我们得到：
\[ r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i \]
步骤 3：确定通解形式
特征方程的根是复数 $-3 + 2i$ 和 $-3 - 2i$。对于二阶线性齐次微分方程，如果特征方程的根是复数 $\alpha \pm \beta i$，那么微分方程的通解为：
\[ y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \]
在本例中，$\alpha = -3$ 和 $\beta = 2$，因此通解为：
\[ y = e^{-3x} (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) \]