微分方程 4y'' + 4y' + y = 0 满足初始条件 y|_(x=0) = 2, y'|_(x=0) = 0 的特解是().A. (C_1 + C_2 x)e^-(1)/(2) xB. (2 + C_2 x)e^-(1)/(2) xC. (2 + x)e^-(1)/(2) xD. (1 + 2x)e^-(1)/(2) x

步骤 1：求特征方程
微分方程 $4y'' + 4y' + y = 0$ 的特征方程为 $4r^2 + 4r + 1 = 0$。解这个二次方程，得到 $r = -\frac{1}{2}$（二重根）。

步骤 2：写出通解
由于特征方程有二重根 $r = -\frac{1}{2}$，微分方程的通解形式为 $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-\frac{1}{2}x}$。

步骤 3：应用初始条件
应用初始条件 $y(0) = 2$，代入通解得到 $2 = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{-\frac{1}{2}\cdot 0}$，即 $C_1 = 2$。
求导得到 $y'(x) = \left(C_2 - \frac{1}{2}C_1 - \frac{1}{2}C_2 x\right)e^{-\frac{1}{2}x}$，应用初始条件 $y'(0) = 0$，代入得到 $0 = \left(C_2 - \frac{1}{2}C_1\right)e^{-\frac{1}{2}\cdot 0}$，即 $C_2 - \frac{1}{2}C_1 = 0$，解得 $C_2 = 1$。

步骤 4：写出特解
将 $C_1 = 2$ 和 $C_2 = 1$ 代入通解，得到特解 $y(x) = (2 + x)e^{-\frac{1}{2}x}$。