题目

12.（填空题，4.0分）设(X,Y)服从平面区域D=((x,y)|x²≤y≤x)上的均匀分布，则PXleq(1)/(2)=____.（请用小数或最简分数作答，如1/3）

12.（填空题，4.0分） 设(X,Y)服从平面区域D={(x,y)|x²≤y≤x}上的均匀分布，则P$\left\{X\leq\frac{1}{2}\right\}$=____.（请用小数或最简分数作答，如1/3）

题目解答

答案

为了求解 $ P\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\} $，我们首先需要确定平面区域 $ D $ 的面积，然后找到 $ X \leq \frac{1}{2} $ 时的区域面积，最后将这两个面积的比值作为概率。 1. **确定平面区域 $ D $ 的面积：** 区域 $ D $ 由不等式 $ x^2 \leq y \leq x $ 定义。为了找到区域 $ D $ 的边界，我们解方程 $ x^2 = x $： \[ x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = 1. \] 因此，区域 $ D $ 由曲线 $ y = x^2 $ 和 $ y = x $ 从 $ x = 0 $ 到 $ x = 1 $ 之间的面积所围成。区域 $ D $ 的面积 $ A $ 为： \[ A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0) = \frac{1}{6}. \] 2. **确定 $ X \leq \frac{1}{2} $ 时的区域面积：** 当 $ X \leq \frac{1}{2} $ 时，区域由 $ x^2 \leq y \leq x $ 和 $ x \leq \frac{1}{2} $ 定义。这个区域的面积 $ A_{X \leq \frac{1}{2}} $ 为： \[ A_{X \leq \frac{1}{2}} = \int_0^{\frac{1}{2}} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2} - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3} \right) - (0) = \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right) = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}. \] 3. **计算概率：** 概率 $ P\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\} $ 是 $ X \leq \frac{1}{2} $ 时的区域面积与整个区域 $ D $ 的面积的比值： \[ P\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\} = \frac{A_{X \leq \frac{1}{2}}}{A} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{12} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \] 因此，答案是： \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]

解析

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的概率计算，涉及区域面积的积分求解以及条件概率的几何意义。

解题核心思路：

  1. 确定区域D的范围：由不等式$x^2 \leq y \leq x$确定，需找到曲线交点$x=0$和$x=1$，明确积分区间。
  2. 计算总面积：通过积分$\int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx$求得区域D的面积。
  3. 计算条件区域面积：对$x \leq \frac{1}{2}$的部分积分$\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - x^2) \, dx$。
  4. 求概率比值：将条件区域面积除以总面积，得到概率。

破题关键点：

  • 正确绘制区域D的图形，明确积分上下限。
  • 准确计算定积分，避免计算错误。
  • 理解均匀分布的概率本质是面积比。

步骤1：确定区域D的总面积
区域D由曲线$y = x^2$和$y = x$围成，交点为$x=0$和$x=1$。
总面积为：
$A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}.$

步骤2：计算$x \leq \frac{1}{2}$时的区域面积
积分区间为$x=0$到$x=\frac{1}{2}$，面积为：
$A_{X \leq \frac{1}{2}} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{12}.$

步骤3：求概率
概率为条件区域面积与总面积的比值：
$P\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\} = \frac{A_{X \leq \frac{1}{2}}}{A} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{2}.$