已知 lim _(xarrow infty )((dfrac {x+2a)(x-a))}^x=8 ,求 a.

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是利用自然对数的底数$e$的极限表达式来求解参数的值。

解题核心思路：将给定的分式表达式转化为标准形式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$，通过变形和变量替换找到对应的$k$值，进而建立方程求解$a$。

破题关键点：

1. 分式变形：将$\frac{x+2a}{x-a}$改写为$1 + \frac{3a}{x-a}$，使其符合$1 + \frac{k}{\text{变量}}$的形式。
2. 指数拆分：将原式拆分为$\left[\left(1 + \frac{3a}{x-a}\right)^{x-a}\right]^{\frac{x}{x-a}}$，利用$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$求解。
3. 方程建立：根据极限结果等于$8$，得到$e^{3a} = 8$，最终解出$a$。

步骤1：分式变形
将分式$\frac{x+2a}{x-a}$改写为：
$\frac{x+2a}{x-a} = \frac{(x-a) + 3a}{x-a} = 1 + \frac{3a}{x-a}.$

步骤2：表达式重组
原极限表达式变为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3a}{x-a}\right)^x.$
将指数$x$拆分为$(x-a) \cdot \frac{x}{x-a}$，得：
$\left[\left(1 + \frac{3a}{x-a}\right)^{x-a}\right]^{\frac{x}{x-a}}.$

步骤3：应用极限公式
当$x \to \infty$时，$x-a \to \infty$，因此：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3a}{x-a}\right)^{x-a} = e^{3a},$
且$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-a} = 1$。因此原极限为：
$(e^{3a})^1 = e^{3a}.$

步骤4：建立方程求解
根据题意，$e^{3a} = 8$，取自然对数得：
$3a = \ln 8 = \ln 2^3 = 3 \ln 2,$
解得：
$a = \ln 2.$