【题目】有一单缝,缝宽a=0.10mm,在缝后放一焦距为50cm的会聚透镜,用波长λ=546.1nm 的平行光垂直照射单缝,试求位于透镜焦平面处屏上中央明纹的宽度。

考查要点：本题主要考查单缝衍射中中央明纹宽度的计算，需要掌握单缝衍射的条件及近轴近似的应用。

解题核心思路：

1. 单缝衍射规律：中央明纹由两侧第一级暗纹包围，宽度由第一级暗纹的位置决定。
2. 暗纹条件：单缝衍射中，第 $m$ 级暗纹满足 $a \sin\theta = m\lambda$（$m=1,2,\dots$）。
3. 近轴近似：当 $\theta$ 很小，$\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$，可将几何关系简化为线性关系。
4. 公式推导：中央明纹宽度为两侧第一级暗纹在屏幕上的距离，即 $\Delta x = 2 \cdot \frac{\lambda f}{a}$。

破题关键：

• 单位统一：将缝宽 $a$、焦距 $f$、波长 $\lambda$ 转换为国际单位制。
• 公式选择：直接应用 $\Delta x = \frac{2\lambda f}{a}$ 计算。

已知条件

• 缝宽 $a = 0.10 \, \text{mm} = 0.10 \times 10^{-3} \, \text{m}$
• 焦距 $f = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}$
• 波长 $\lambda = 546.1 \, \text{nm} = 546.1 \times 10^{-9} \, \text{m}$

公式应用

中央明纹宽度公式为：
$\Delta x = \frac{2\lambda f}{a}$

代入计算

$\Delta x = \frac{2 \cdot (546.1 \times 10^{-9}) \cdot 0.5}{0.10 \times 10^{-3}} = \frac{2 \cdot 546.1 \cdot 10^{-9} \cdot 0.5}{0.1 \cdot 10^{-3}}$

分步计算：

1. 分子：$2 \cdot 546.1 \cdot 10^{-9} \cdot 0.5 = 546.1 \cdot 10^{-9}$
2. 分母：$0.1 \cdot 10^{-3} = 1 \cdot 10^{-4}$
3. 结果：$\frac{546.1 \cdot 10^{-9}}{1 \cdot 10^{-4}} = 546.1 \cdot 10^{-5} = 5.461 \cdot 10^{-3} \, \text{m}$