3.一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这曲线方程。 __

步骤 1：确定切线方程
设曲线上的任意一点为 \( (x, y) \)，则该点处的切线方程为 \( y - y_0 = m(x - x_0) \)，其中 \( m \) 是切线的斜率，\( (x_0, y_0) \) 是切点坐标。
步骤 2：确定切线与坐标轴的交点
切线与 \( x \) 轴的交点为 \( (x_0 - \frac{y_0}{m}, 0) \)，与 \( y \) 轴的交点为 \( (0, y_0 - mx_0) \)。
步骤 3：利用切点平分切线段的条件
根据题意，切点 \( (x_0, y_0) \) 平分切线与坐标轴的交点，即 \( x_0 = \frac{1}{2}(x_0 - \frac{y_0}{m}) \) 和 \( y_0 = \frac{1}{2}(y_0 - mx_0) \)。
步骤 4：求解切线斜率
由 \( x_0 = \frac{1}{2}(x_0 - \frac{y_0}{m}) \) 得到 \( m = -\frac{y_0}{x_0} \)。
步骤 5：建立微分方程
将 \( m = -\frac{y}{x} \) 代入切线方程，得到 \( \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \)。
步骤 6：求解微分方程
分离变量得到 \( \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x} \)，两边积分得到 \( \ln|y| = -\ln|x| + C \)，即 \( \ln|xy| = C \)。
步骤 7：确定常数
由曲线通过点 \( (2, 3) \)，代入得到 \( \ln|2 \times 3| = C \)，即 \( C = \ln 6 \)。
步骤 8：写出曲线方程
由 \( \ln|xy| = \ln 6 \) 得到 \( xy = 6 \)。