30.[判断题] -第一类曲线积分的性质、对称性-设曲面Σ关于xoy对称，Sigma_(1)是Σ的上半部分，f(x,y,z)在Σ上连续，若f(x,y,z)关于z是偶函数，则iint_(Sigma)f(x,y,z)ds=2iint_(Sigma_{1)}f(x,y,z)ds.（ ）A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查第一类曲面积分的对称性性质，特别是当被积函数关于某一变量为偶函数时，如何利用曲面的对称性简化积分计算。

解题核心思路：

1. 曲面对称性：曲面Σ关于xoy平面对称，可分解为上半部分Σ₁和下半部分Σ₂。
2. 偶函数性质：被积函数f(x,y,z)关于z为偶函数，即f(x,y,-z)=f(x,y,z)。
3. 积分拆分与对称性应用：将Σ上的积分拆分为Σ₁和Σ₂上的积分，利用偶函数性质将Σ₂上的积分转化为Σ₁上的积分，最终合并得到结果。

破题关键点：

• 明确曲面的对称性如何影响积分区域的拆分。
• 理解偶函数在对称变换下被积函数的不变性。
• 确认面积元素ds在对称变换下保持不变。

步骤1：拆分积分区域
将曲面Σ拆分为上半部分Σ₁（z ≥ 0）和下半部分Σ₂（z ≤ 0），则：
$\iint_{\Sigma} f(x,y,z) \, ds = \iint_{\Sigma_1} f(x,y,z) \, ds + \iint_{\Sigma_2} f(x,y,z) \, ds.$

步骤2：分析Σ₂上的积分
对于Σ₂上的任意点$(x,y,z)$，其关于xoy平面的对称点$(x,y,-z)$属于Σ₁。由于f是偶函数，有：
$f(x,y,z) = f(x,y,-(-z)) = f(x,y,-z).$
因此，Σ₂上的积分可转化为在Σ₁上的积分：
$\iint_{\Sigma_2} f(x,y,z) \, ds = \iint_{\Sigma_1} f(x,y,-z) \, ds = \iint_{\Sigma_1} f(x,y,z) \, ds.$

步骤3：合并积分结果
将Σ₁和Σ₂的积分相加：
$\iint_{\Sigma} f(x,y,z) \, ds = \iint_{\Sigma_1} f(x,y,z) \, ds + \iint_{\Sigma_1} f(x,y,z) \, ds = 2 \iint_{\Sigma_1} f(x,y,z) \, ds.$

结论：原等式成立，答案为A 对。