题目
14.宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P-|||-点,沿水平方向以初速度v0抛出一个小球,测得小球-|||-经时间t落到斜坡另一点Q上,斜坡的倾角为α,已-|||-知该星球的半径为R,引力常量为G,球的体积公式-|||-是 =dfrac (4)(3)pi (R)^3 求:-|||-(1)该星球表面的重力加速度g;-|||-(2)该星球的密度;-|||-(3)该星球的第一宇宙速度。-|||-zo-|||-α-|||-Q
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算星球表面的重力加速度g
小球在斜坡上做平抛运动时，水平方向上 $x={v}_{0}t$ ，竖直方向上 $y=\dfrac {1}{2}g{t}^{2}$ ，由几何知识 $\tan \alpha =\dfrac {y}{x}$ ，联立求解得 $g=\dfrac {2{v}_{0}\tan \alpha }{t}$ 。
步骤 2：计算星球的密度
对于星球表面的物体m0，有 $G\dfrac {M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$ ，又 $V=\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}$ ，故 $\rho =\dfrac {M}{V}=\dfrac {3{v}_{0}\tan \alpha }{2\pi RtG}$ 。
步骤 3：计算星球的第一宇宙速度
该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故 $G\dfrac {Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac {{v}^{2}}{R}$ ，又 $GM=g{R}^{2}$ ，解得 $v=\sqrt {\dfrac {2{v}_{0}R\tan \alpha }{t}}$ 。
小球在斜坡上做平抛运动时，水平方向上 $x={v}_{0}t$ ，竖直方向上 $y=\dfrac {1}{2}g{t}^{2}$ ，由几何知识 $\tan \alpha =\dfrac {y}{x}$ ，联立求解得 $g=\dfrac {2{v}_{0}\tan \alpha }{t}$ 。
步骤 2：计算星球的密度
对于星球表面的物体m0，有 $G\dfrac {M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$ ，又 $V=\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}$ ，故 $\rho =\dfrac {M}{V}=\dfrac {3{v}_{0}\tan \alpha }{2\pi RtG}$ 。
步骤 3：计算星球的第一宇宙速度
该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故 $G\dfrac {Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac {{v}^{2}}{R}$ ，又 $GM=g{R}^{2}$ ，解得 $v=\sqrt {\dfrac {2{v}_{0}R\tan \alpha }{t}}$ 。