题目
若AX=0有非零解，则AX=b有无穷多解.A. 对B. 错
若AX=0有非零解，则AX=b有无穷多解.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解方程组 $AX=0$ 有非零解的含义
方程组 $AX=0$ 有非零解，意味着存在非零向量 $X$ 使得 $AX=0$ 成立。这表明矩阵 $A$ 的列向量组线性相关，即矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 小于未知数的个数 $n$。
步骤 2：分析非齐次方程组 $AX=b$ 的解的情况
对于非齐次方程组 $AX=b$，其解的情况取决于增广矩阵 $[A|b]$ 的秩：
- 若 $r(A) \neq r([A|b])$，则方程组无解；
- 若 $r(A) = r([A|b]) = n$，则方程组有唯一解；
- 若 $r(A) = r([A|b]) < n$，则方程组有无穷多解。
步骤 3：判断原命题的正确性
由于 $r(A) < n$，我们无法确定 $r([A|b])$ 的值，因此无法保证 $AX=b$ 必有无穷多解。因此，原命题错误。
方程组 $AX=0$ 有非零解，意味着存在非零向量 $X$ 使得 $AX=0$ 成立。这表明矩阵 $A$ 的列向量组线性相关，即矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 小于未知数的个数 $n$。
步骤 2：分析非齐次方程组 $AX=b$ 的解的情况
对于非齐次方程组 $AX=b$，其解的情况取决于增广矩阵 $[A|b]$ 的秩：
- 若 $r(A) \neq r([A|b])$，则方程组无解；
- 若 $r(A) = r([A|b]) = n$，则方程组有唯一解；
- 若 $r(A) = r([A|b]) < n$，则方程组有无穷多解。
步骤 3：判断原命题的正确性
由于 $r(A) < n$，我们无法确定 $r([A|b])$ 的值，因此无法保证 $AX=b$ 必有无穷多解。因此，原命题错误。