题目

设 A, B, C 为 3 个事件，用 A, B, C 间的运算表示下列事件．(1) A 发生，B 与 C 不发生．(2) A, B 都发生，而 C 不发生．(3) A, B, C 中至少有一个发生．(4) A, B, C 都发生．

设 A, B, C 为 3 个事件，用 A, B, C 间的运算表示下列事件． (1) A 发生，B 与 C 不发生． (2) A, B 都发生，而 C 不发生． (3) A, B, C 中至少有一个发生． (4) A, B, C 都发生．

题目解答

答案

我们来逐题分析，使用事件之间的运算（如交、并、补）来表示所给的事件。设 $ A $、$ B $、$ C $ 是三个事件，样本空间为 $ \Omega $。我们用以下符号表示：

  • $ A \cap B $：事件 A 和 B 同时发生（交）
  • $ A \cup B $：事件 A 或 B 至少一个发生（并）
  • $ \overline{A} $：事件 A 不发生（补事件）

现在逐个解答：

(1) A 发生，B 与 C 不发生。

要求：A 发生，同时 B 不发生，C 也不发生。

  • A 发生：$ A $
  • B 不发生：$ \overline{B} $
  • C 不发生：$ \overline{C} $

这三个条件要同时满足，所以用交集表示：

$A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

(2) A, B 都发生，而 C 不发生。

要求：A 发生，B 发生，C 不发生。

  • A 发生：$ A $
  • B 发生：$ B $
  • C 不发生：$ \overline{C} $

三者同时发生，用交集：

$A \cap B \cap \overline{C}$

(3) A, B, C 中至少有一个发生。

“至少有一个发生”就是指 A、B、C 的并集，即：

$A \cup B \cup C$

(4) A, B, C 都发生。

要求 A、B、C 同时发生，即三者的交集：

$A \cap B \cap C$

最终答案：

(1) $ A \cap \overline{B} \cap \overline{C} $
(2) $ A \cap B \cap \overline{C} $
(3) $ A \cup B \cup C $
(4) $ A \cap B \cap C $

$\boxed{ \begin{aligned}&(1)\ A \cap \overline{B} \cap \overline{C} \\&(2)\ A \cap B \cap \overline{C} \\&(3)\ A \cup B \cup C \\&(4)\ A \cap B \cap C\end{aligned} }$

解析

本题考查事件运算的基本表示方法，需要将自然语言描述的事件转化为集合运算（交、并、补）的组合。解题核心在于：

  1. “发生”对应事件本身，“不发生”对应补集；
  2. 多个事件同时发生用交集（$\cap$），至少一个发生用并集（$\cup$）；
  3. “至少一个发生”是并集的推广，“全部发生”是交集的推广。

第（1）题

要求：A 发生，B 和 C 不发生。

  • A 发生对应事件 $A$；
  • B 不发生对应补集 $\overline{B}$；
  • C 不发生对应补集 $\overline{C}$；
  • 同时满足三个条件，需取交集：
    $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

第（2）题

要求：A、B 都发生，C 不发生。

  • A 和 B 同时发生对应交集 $A \cap B$；
  • C 不发生对应补集 $\overline{C}$；
  • 三者同时满足，需取交集：
    $A \cap B \cap \overline{C}$

第（3）题

要求：A、B、C 中至少有一个发生。

  • “至少一个发生”等价于三个事件的并集：
    $A \cup B \cup C$

第（4）题

要求：A、B、C 都发生。

  • “全部发生”对应三个事件的交集：
    $A \cap B \cap C$