题目
18.设 A= 1 0 1 () 0 2 0 1 0 1 且 +E=(A)^2+B, 求B.
题目解答
答案
解析
步骤 1：整理方程
给定方程为 $AB+E={A}^{2}+B$，我们首先将方程整理为 $AB-B={A}^{2}-E$，即 $(A-E)B={A}^{2}-E$。
步骤 2：计算 $A-E$
计算矩阵 $A-E$，其中 $E$ 是单位矩阵，即 $E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。因此，$A-E=\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：计算 ${A}^{2}-E$
计算矩阵 ${A}^{2}$，即 $A$ 与自身的乘积，然后减去单位矩阵 $E$。计算得 ${A}^{2}=\left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right.$，因此 ${A}^{2}-E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：求解矩阵 $B$
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，我们有 $(A-E)B={A}^{2}-E$，即 $\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.$ $B=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。通过观察或计算，可以发现 $B=\left (\begin{matrix} 2& 0& 1\\ 0& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{matrix} ) \right.$ 满足上述方程。
给定方程为 $AB+E={A}^{2}+B$，我们首先将方程整理为 $AB-B={A}^{2}-E$，即 $(A-E)B={A}^{2}-E$。
步骤 2：计算 $A-E$
计算矩阵 $A-E$，其中 $E$ 是单位矩阵，即 $E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。因此，$A-E=\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：计算 ${A}^{2}-E$
计算矩阵 ${A}^{2}$，即 $A$ 与自身的乘积，然后减去单位矩阵 $E$。计算得 ${A}^{2}=\left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right.$，因此 ${A}^{2}-E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：求解矩阵 $B$
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，我们有 $(A-E)B={A}^{2}-E$，即 $\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.$ $B=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。通过观察或计算，可以发现 $B=\left (\begin{matrix} 2& 0& 1\\ 0& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{matrix} ) \right.$ 满足上述方程。