19. (5.0分) 已知x→0时，f(x)是无穷大，则（）一定是无穷小。A. xf(x)B. x + f(x)C. (x)/(f(x))D. f(x) - (1)/(x)

考查要点：本题主要考查无穷小与无穷大的性质及其运算规律，特别是乘积、和、商、差等运算后的极限趋势判断。

解题核心思路：

1. 明确无穷小与无穷大的定义：当$x \to 0$时，$f(x) \to +\infty$，需判断各选项是否必然趋近于$0$。
2. 逐项分析运算类型：
   • 乘积型（如$xf(x)$）：需判断“$0 \cdot \infty$”型的极限是否存在。
   • 和差型（如$x + f(x)$）：无穷大主导，结果仍为无穷大。
   • 商型（如$\frac{x}{f(x)}$）：“$\frac{0}{\infty}$”型，结果必然为$0$。
3. 反例验证：通过构造具体函数（如$f(x) = \frac{1}{x}$或$\frac{1}{x^2}$）验证选项是否成立。

破题关键点：

• 选项C的商型结构：分子$x \to 0$，分母$f(x) \to +\infty$，商必然趋近于$0$，无需考虑速度差异。
• 排除法：其他选项可通过反例说明不必然成立。

选项分析

选项A：$xf(x)$

• 类型：$0 \cdot \infty$型不定式。
• 反例：
  • 若$f(x) = \frac{1}{x}$，则$xf(x) = 1$（极限为$1$，非无穷小）。
  • 若$f(x) = \frac{1}{x^2}$，则$xf(x) = \frac{1}{x}$（极限为$+\infty$，非无穷小）。
• 结论：不一定是无穷小。

选项B：$x + f(x)$

• 分析：$x \to 0$，$f(x) \to +\infty$，和的极限为$+\infty$。
• 结论：是无穷大，非无穷小。

选项C：$\frac{x}{f(x)}$

• 分析：分子$x \to 0$，分母$f(x) \to +\infty$，商的极限为$0$。
• 验证：
  • 若$f(x) = \frac{1}{x}$，则$\frac{x}{f(x)} = x^2 \to 0$。
  • 若$f(x) = \frac{1}{x^2}$，则$\frac{x}{f(x)} = x^3 \to 0$。
• 结论：一定是无穷小。

选项D：$f(x) - \frac{1}{x}$

• 分析：$f(x) \to +\infty$，$\frac{1}{x}$在$x \to 0^+$时为$+\infty$，在$x \to 0^-$时为$-\infty$。
• 反例：
  • 若$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f(x) - \frac{1}{x} = 0$（非无穷小）。
  • 若$f(x) = \frac{1}{x^2}$，则$f(x) - \frac{1}{x} \to +\infty$（非无穷小）。
• 结论：不一定是无穷小。