题目

6.在一个盒中装有15只乒乓球，其中有9只新球，在第一次比赛中任意取出3只球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3只球，求第二次取出的3只球均为新球的概率.

题目解答

答案

设第一次取出 $ i $ 个新球的事件为 $ A_i $（$ i=0,1,2,3 $），第二次取出3个新球的事件为 $ B $。计算 $ P(A_i) $ 和 $ P(B|A_i) $： - $ P(A_0) = \frac{C_6^3}{C_{15}^3} $，$ P(B|A_0) = \frac{C_9^3}{C_{15}^3} $ - $ P(A_1) = \frac{C_9^1C_6^2}{C_{15}^3} $，$ P(B|A_1) = \frac{C_8^3}{C_{15}^3} $ - $ P(A_2) = \frac{C_9^2C_6^1}{C_{15}^3} $，$ P(B|A_2) = \frac{C_7^3}{C_{15}^3} $ - $ P(A_3) = \frac{C_9^3}{C_{15}^3} $，$ P(B|A_3) = \frac{C_6^3}{C_{15}^3} $ 由全概率公式： \[ P(B) = \sum_{i=0}^3 P(A_i)P(B|A_i) = \frac{18480}{207025} \approx 0.089 \] **答案：** $\boxed{0.089}$

解析

考查要点：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，涉及组合数的计算。关键在于理解第一次取球后新球数量的变化对第二次取球概率的影响。

解题思路：

分类讨论：根据第一次取出的新球数量（0、1、2、3个），将问题分解为四种互斥情况。
计算各情况概率：分别求出每种情况下第一次取球的概率 $P(A_i)$，以及对应的第二次取球的条件概率 $P(B|A_i)$。
全概率公式：将所有情况的概率加权求和，得到最终结果。

破题关键：明确第一次取球后新球数量的变化，正确应用组合数计算概率。

设第一次取出 $i$ 个新球的事件为 $A_i$（$i=0,1,2,3$），第二次取出3个新球的事件为 $B$。计算 $P(A_i)$ 和 $P(B|A_i)$：

第（1）步：计算 $P(A_i)$

$P(A_0)$：第一次取出3个旧球的概率
$P(A_0) = \frac{C_6^3}{C_{15}^3} = \frac{20}{455}$
$P(A_1)$：第一次取出1新2旧的概率
$P(A_1) = \frac{C_9^1 C_6^2}{C_{15}^3} = \frac{9 \times 15}{455} = \frac{135}{455}$
$P(A_2)$：第一次取出2新1旧的概率
$P(A_2) = \frac{C_9^2 C_6^1}{C_{15}^3} = \frac{36 \times 6}{455} = \frac{216}{455}$
$P(A_3)$：第一次取出3个新球的概率
$P(A_3) = \frac{C_9^3}{C_{15}^3} = \frac{84}{455}$

第（2）步：计算条件概率 $P(B|A_i)$

$P(B|A_0)$：第一次未取新球，第二次取3新球的概率
$P(B|A_0) = \frac{C_9^3}{C_{15}^3} = \frac{84}{455}$
$P(B|A_1)$：第一次取1新球，剩余8新球的概率
$P(B|A_1) = \frac{C_8^3}{C_{15}^3} = \frac{56}{455}$
$P(B|A_2)$：第一次取2新球，剩余7新球的概率
$P(B|A_2) = \frac{C_7^3}{C_{15}^3} = \frac{35}{455}$
$P(B|A_3)$：第一次取3新球，剩余6新球的概率
$P(B|A_3) = \frac{C_6^3}{C_{15}^3} = \frac{20}{455}$

第（3）步：全概率公式求和

$P(B) = \sum_{i=0}^3 P(A_i)P(B|A_i) = \frac{18480}{207025} \approx 0.089$